Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 4. Линейная зависимость векторов 111
Системы векторов {a
i
}
m
i=1
и {b
i
}
p
i=1
называются эквивалентными,
если существуют матрицы X, Y такие, что
A
m
= B
p
X(p, m), B
p
= A
m
Y (m, p), (1.3)
т. е. каждый вектор одной системы линейно выражается через векто-
ры другой системы.
Упражнение. Используя свойство транзитивности, показать,
что если вектор x ∈ X линейно выражается через систему векто-
ров {a
i
}
m
i=1
, то он линейно выражается и через эквивалентную систе-
му векторов {b
i
}
p
i=1
.
2. Линейно независимые системы. Будем говорить, что систе-
ма векторов A
m
= {a
i
}
m
i=1
линейно независима, если из равен-
ства A
m
x = 0 вытекает, что x = 0.
Линейно независимые системы векторов существуют. Приведем
простые примеры.
1) Любой вектор a 6= 0 образует линейно независимую систему,
состоящую из одного вектора.
2) Единичные векторы i
1
, i
2
, . . . , i
m
∈ C
n
, m 6 n, линейно неза-
висимы. Это утверждение сразу же вытекает из того, что для любого
вектора x ∈ C
m
вектор x
1
i
1
+ x
2
i
2
+ ··· + x
m
i
m
∈ C
n
имеет вид
(x
1
, x
2
, . . . , x
m
, 0, . . . , 0)
и, следовательно, равен нулю тогда и только тогда, когда x = 0.
3) Система векторов {1, z, . . . , z
k
}, где z — комплексная перемен-
ная, k > 0 — целое число, линейно независима в пространстве полино-
мов. Для доказательства этого утверждения достаточно вспомнить,
что если полином равен нулю, то все его коэффициенты — нули (см.
теорему 2.1, с. 75).
2.1. Любая подсистема линейно независимой системы векто-
ров {a
i
}
m
i=1
линейно независима.
Действительно, предположим противное. Не ограничивая общно-
сти рассуждений, можно считать, что векторы a
1
, a
2
, . . . , a
p
, p < m,
линейно зависимы. Тогда существуют числа x
1
, . . . , x
p
, не все одно-
временно равные нулю, и такие, что
x
1
a
1
+ x
2
a
2
+ ··· + x
p
a
p
= 0,
следовательно,
x
1
a
1
+ x
2
a
2
+ ··· + x
p
a
p
+ 0a
p+1
+ ··· + 0a
m
= 0,
т. е. вопреки сделанному предположению система {a
i
}
m
i=1
линейно за-
висима.
§ 4. Линейная зависимость векторов                                     111


                                 i p
   Системы векторов {ai }m
                         i=1 и {b }i=1 называются эквивалентными,
если существуют матрицы X, Y такие, что
                 Am = Bp X(p, m),            Bp = Am Y (m, p),        (1.3)
т. е. каждый вектор одной системы линейно выражается через векто-
ры другой системы.
     Упражнение. Используя свойство транзитивности, показать,
что если вектор x ∈ X линейно выражается через систему векто-
ров {ai }m
         i=1 , то он линейно выражается и через эквивалентную систе-
му векторов {bi }pi=1 .
    2. Линейно независимые системы. Будем говорить, что систе-
ма векторов Am = {ai }m  i=1 линейно независима, если из равен-
ства Am x = 0 вытекает, что x = 0.
    Линейно независимые системы векторов существуют. Приведем
простые примеры.
    1) Любой вектор a 6= 0 образует линейно независимую систему,
состоящую из одного вектора.
    2) Единичные векторы i1 , i2 , . . . , im ∈ Cn , m 6 n, линейно неза-
висимы. Это утверждение сразу же вытекает из того, что для любого
вектора x ∈ Cm вектор x1 i1 + x2 i2 + · · · + xm im ∈ Cn имеет вид
                         (x1 , x2 , . . . , xm , 0, . . . , 0)
и, следовательно, равен нулю тогда и только тогда, когда x = 0.
    3) Система векторов {1, z, . . . , z k }, где z — комплексная перемен-
ная, k > 0 — целое число, линейно независима в пространстве полино-
мов. Для доказательства этого утверждения достаточно вспомнить,
что если полином равен нулю, то все его коэффициенты — нули (см.
теорему 2.1, с. 75).
    2.1. Любая подсистема линейно независимой системы векто-
ров {ai}m
        i=1 линейно независима.
    Действительно, предположим противное. Не ограничивая общно-
сти рассуждений, можно считать, что векторы a1 , a2 , . . . , ap , p < m,
линейно зависимы. Тогда существуют числа x1 , . . . , xp , не все одно-
временно равные нулю, и такие, что
                      x1 a1 + x2 a2 + · · · + xp ap = 0,
следовательно,
           x1 a1 + x2 a2 + · · · + xp ap + 0ap+1 + · · · + 0am = 0,
т. е. вопреки сделанному предположению система {ai }m
                                                    i=1 линейно за-
висима.

Страницы