Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

110 Глава 4. Векторные пространства
Можно сказать тогда, что векторы a
1
, a
2
, . . . , a
m
, линейно зависимы,
если существует ненулевой вектор x ∈ C
m
такой, что
A
m
x = 0.
Будем говорить, что вектор a ∈ X линейно выражается через
векторы b
1
, b
2
, . . . , b
p
, p > 1 (является линейной комбинацией этих
векторов), если существует вектор x ∈ C
p
такой, что
a = x
1
b
1
+ x
2
b
2
+ ··· + x
p
b
p
,
в матричной записи:
a = B
p
x.
Упражнения
1) Доказать, что система векторов линейно зависима, если она
содержит линейно зависимую подсистему, в частности, если она со-
держит нулевой вектор.
2) Доказать, что для того, чтобы система векторов {a
i
}
m
i=1
была
линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы она содержала
вектор a
k
, который линейно выражается через остальные.
Говорят, что система векторов {a
i
}
m
i=1
линейно выражается через
систему векторов {b
i
}
p
i=1
, если существует матрица X(p, m) такая, что
A
m
= B
p
X(p, m). (1.2)
В более подробной записи это означает, что
a
k
=
p
X
j=1
x
j,k
b
j
, k = 1, . . . , m.
Свойство транзитивности: если система векторов {a
i
}
m
i=1
линей-
но выражается через систему векторов {b
i
}
p
i=1
, а та, в свою очередь, —
через систему векторов {c
i
}
q
i=1
, то система векторов {a
i
}
m
i=1
линейно
выражается через систему векторов {c
i
}
q
i=1
.
Действительно, по определению имеем
A
m
= B
p
X(p, m), B
p
= C
q
Y (q, p),
Подставляя в первое из этих равенств выражение для B
p
, получим
A
m
= C
q
Z,
где
Z(q, m) = Y (q, p)X(p, m).
110                                               Глава 4. Векторные пространства


Можно сказать тогда, что векторы a1 , a2 , . . . , am , линейно зависимы,
если существует ненулевой вектор x ∈ Cm такой, что
                                    Am x = 0.
   Будем говорить, что вектор a ∈ X линейно выражается через
векторы b1 , b2 , . . . , bp , p > 1 (является линейной комбинацией этих
векторов), если существует вектор x ∈ Cp такой, что
                      a = x 1 b1 + x 2 b2 + · · · + x p bp ,
в матричной записи:
                                     a = Bp x.
    Упражнения
    1) Доказать, что система векторов линейно зависима, если она
содержит линейно зависимую подсистему, в частности, если она со-
держит нулевой вектор.
    2) Доказать, что для того, чтобы система векторов {ai }m
                                                           i=1 была
линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы она содержала
вектор ak , который линейно выражается через остальные.
    Говорят, что система векторов {ai }m
                                       i=1 линейно выражается через
                    i p
систему векторов {b }i=1 , если существует матрица X(p, m) такая, что
                             Am = Bp X(p, m).                               (1.2)
В более подробной записи это означает, что
                           p
                           X
                     k
                    a =           xj,k bj ,   k = 1, . . . , m.
                            j=1

    Свойство транзитивности: если система векторов {ai }m     i=1 линей-
                                           i p
но выражается через систему векторов {b }i=1 , а та, в свою очередь, —
через систему векторов {ci }qi=1 , то система векторов {ai }m
                                                            i=1 линейно
                                         i q
выражается через систему векторов {c }i=1 .
    Действительно, по определению имеем
                  Am = Bp X(p, m),            Bp = Cq Y (q, p),
Подставляя в первое из этих равенств выражение для Bp , получим
                                   Am = Cq Z,
где
                         Z(q, m) = Y (q, p)X(p, m).

Страницы