Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

108 Глава 4. Векторные пространства
поэтому, полагая a = x, b =
(x, y)
|y|
2
y в тождестве (1.1), получаем, что
|x|
2
=
¯
¯
¯
¯
x −
(x, y)
|y|
2
y
¯
¯
¯
¯
2
+
|(x, y)|
2
|y|
2
. (3.2)
Из (3.2) следует, что |x|
2
> |(x, y)|
2
/|y|
2
, а это неравенство эквива-
лентно (3.1). Если |x|
2
= |(x, y)|
2
/|y|
2
, т. е. неравенство (3.1) превра-
щается в равенство, то из (3.2) получаем, что
¯
¯
¯
¯
x −
(x, y)
|y|
2
y
¯
¯
¯
¯
2
= 0,
откуда вытекает, что x = ((x, y)/|y|
2
)y, следовательно, векторы x
и y пропорциональны. Обратно, если векторы x, y пропорциональны,
то, как нетрудно убедится, левая и правая части неравенства (3.1)
совпадают. ¤
4. Величина |x| =
p
(x, x) называется длиной (модулем) векто-
ра x. Неравенство (3.1) часто записывают в виде
|(x, y)| 6 |x||y| ∀x, y ∈ X. (4.1)
Введенное понятие длины, обладает свойствами, аналогичными
свойствам длины вектора в трехмерном евклидовом пространстве, а
именно:
1) |x| > 0 для любого вектора x ∈ X, равенство |x| = 0 эквива-
лентно равенству x = 0;
2) |αx| = |α||x| для любых x ∈ X и α ∈ C;
3) |x + y| 6 |x| + |y| для любых x, y ∈ X.
Неравенство 3) называют неравенством треугольника (неравен-
ством Минковского).
Справедливость утверждений 1), 2) очевидна. Покажем, что нера-
венство треугольника вытекает из неравенства Коши — Буняковско-
го. В самом деле,
|x + y|
2
= (x + y, x + y) = |x|
2
+ 2 Re(x, y) + |y|
2
.
Вследствие (4.1) справедливо неравенство |Re(x, y)| 6 |x||y|, откуда
получаем, что
|x + y|
2
6 |x|
2
+ 2|x||y| + |y|
2
= (|x| + |y|)
2
.
Последнее неравенство эквивалентно 3).
108                                         Глава 4. Векторные пространства


                               (x, y)
поэтому, полагая a = x, b =           y в тождестве (1.1), получаем, что
                                |y|2
                            ¯             ¯2
                            ¯    (x, y)   ¯           2
                    |x|2 = ¯¯x −        y ¯ + |(x, y)| .            (3.2)
                                  |y|2 ¯        |y|2
Из (3.2) следует, что |x|2 > |(x, y)|2 /|y|2 , а это неравенство эквива-
лентно (3.1). Если |x|2 = |(x, y)|2 /|y|2 , т. е. неравенство (3.1) превра-
щается в равенство, то из (3.2) получаем, что
                          ¯               ¯2
                          ¯     (x,  y)   ¯
                          ¯x −          y ¯ = 0,
                          ¯      |y|2 ¯
откуда вытекает, что x = ((x, y)/|y|2 )y, следовательно, векторы x
и y пропорциональны. Обратно, если векторы x, y пропорциональны,
то, как нетрудно убедится, левая и правая части неравенства (3.1)
совпадают. ¤
                       p
    4. Величина |x| = (x, x) называется длиной (модулем) векто-
ра x. Неравенство (3.1) часто записывают в виде
                      |(x, y)| 6 |x||y| ∀ x, y ∈ X.                   (4.1)
    Введенное понятие длины, обладает свойствами, аналогичными
свойствам длины вектора в трехмерном евклидовом пространстве, а
именно:
    1) |x| > 0 для любого вектора x ∈ X, равенство |x| = 0 эквива-
лентно равенству x = 0;
    2) |αx| = |α||x| для любых x ∈ X и α ∈ C;
    3) |x + y| 6 |x| + |y| для любых x, y ∈ X.
    Неравенство 3) называют неравенством треугольника (неравен-
ством Минковского).
    Справедливость утверждений 1), 2) очевидна. Покажем, что нера-
венство треугольника вытекает из неравенства Коши — Буняковско-
го. В самом деле,
           |x + y|2 = (x + y, x + y) = |x|2 + 2 Re(x, y) + |y|2 .
Вследствие (4.1) справедливо неравенство | Re(x, y)| 6 |x||y|, откуда
получаем, что
              |x + y|2 6 |x|2 + 2|x||y| + |y|2 = (|x| + |y|)2 .
Последнее неравенство эквивалентно 3).

Страницы