Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Неравенство Коши — Буняковского 107
т. е. (a − b, b) = 0
1)
. Тогда по теореме Пифагора
|a|
2
= |a − b|
2
+ |b|
2
. (1.1)
Пусть теперь a, b — векторы произвольного евклидова простран-
ства X, такие, что (a −b, b) = 0. Тождество (1.1) (тождество Пифа-
гора) справедливо и в этом случае, если положить, что |v| =
p
(v, v)
для любого вектора v ∈ X. Действительно, проводя элементарные
выкладки, будем иметь
(a, a) = (a−b+b, a−b+b) = (a−b, a−b)+(b, b)+(a−b, b)+(b, a−b) =
= (a −b, a −b) + (b, b) + (a −b, b) + (a − b, b) = (a −b, a −b) + (b, b).
2. Векторы a, b из линейного пространства X будем называть
коллинеарными (пропорциональными, линейно зависимыми), если
существуют числа α, β, не равные одновременно нулю, такие, что
αa + βb = 0.
Понятно, что в этом случае либо a = γb, либо b = δa, где γ, δ —
некоторые числа.
Примеры.
1) Единичные векторы i
k
, i
l
пространства C
n
при k 6= l неколлинеарны (докажите).
2) Векторы x
1
= (1+i, 3, 2−i, 5), x
2
= (2, 3−3i, 1−3i, 5−5i) ∈ C
4
пропорциональны,
так как 2/(1 + i) = (3 − 3i)/3 = (1 − 3i)/(2 − i) = (5 − 5i)/5 = 1 − i.
3. Теорема. Пусть X — евклидово пространство. Для любых
векторов x, y ∈ X справедливо неравенство
|(x, y)|
2
6 (x, x)(y, y), (3.1)
Это неравенство называют неравенством Коши — Буняковского.
Равенство в (3.1) достигается тогда и только тогда, когда векто-
ры x, y пропорциональны.
Доказательство. Если y = 0, то неравенство (3.1) превраща-
ется в тривиальное равенство, и при любом x ∈ X векторы x, y про-
порциональны, так как 0x + y = 0. Поэтому в дальнейшем считаем,
что y 6= 0. Нетрудно видеть, что
2)
µ
x −
(x, y)
|y|
2
y,
(x, y)
|y|
2
y
= 0,
1)
Можно сказать, что вектор b получен проектированием вектора a на прямую, параллельную
вектору b.
2)
Геометрически вектор
(x, y)
|y|
2
y получен проектированием вектора x на прямую, параллель-
ную вектору y.
§ 3. Неравенство Коши — Буняковского                                                   107


т. е. (a − b, b) = 01) . Тогда по теореме Пифагора
                                |a|2 = |a − b|2 + |b|2 .                             (1.1)
Пусть теперь a, b — векторы произвольного евклидова простран-
ства X, такие, что (a − b, b) = 0. Тождество (1.1) (тождествоpПифа-
гора) справедливо и в этом случае, если положить, что |v| = (v, v)
для любого вектора v ∈ X. Действительно, проводя элементарные
выкладки, будем иметь
  (a, a) = (a−b+b, a−b+b) = (a−b, a−b)+(b, b)+(a−b, b)+(b, a−b) =
= (a − b, a − b) + (b, b) + (a − b, b) + (a − b, b) = (a − b, a − b) + (b, b).
   2. Векторы a, b из линейного пространства X будем называть
коллинеарными (пропорциональными, линейно зависимыми), если
существуют числа α, β, не равные одновременно нулю, такие, что
                                     αa + βb = 0.
Понятно, что в этом случае либо a = γb, либо b = δa, где γ, δ —
некоторые числа.
     Примеры.
     1) Единичные векторы ik , il пространства Cn при k 6= l неколлинеарны (докажите).
     2) Векторы x1 = (1+i, 3, 2−i, 5), x2 = (2, 3−3i, 1−3i, 5−5i) ∈ C4 пропорциональны,
так как 2/(1 + i) = (3 − 3i)/3 = (1 − 3i)/(2 − i) = (5 − 5i)/5 = 1 − i.

   3. Теорема. Пусть X — евклидово пространство. Для любых
векторов x, y ∈ X справедливо неравенство
                               |(x, y)|2 6 (x, x)(y, y),                             (3.1)
Это неравенство называют неравенством Коши — Буняковского.
Равенство в (3.1) достигается тогда и только тогда, когда векто-
ры x, y пропорциональны.
    Доказательство. Если y = 0, то неравенство (3.1) превраща-
ется в тривиальное равенство, и при любом x ∈ X векторы x, y про-
порциональны, так как 0x + y = 0. Поэтому в дальнейшем считаем,
что y 6= 0. Нетрудно видеть, что2)
                     µ                    ¶
                           (x, y) (x, y)
                       x−        y,      y = 0,
                            |y|2    |y|2
  1)
     Можно сказать, что вектор b получен проектированием вектора a на прямую, параллельную
вектору b.
  2)                       (x, y)
     Геометрически вектор         y получен проектированием вектора x на прямую, параллель-
                            |y|2
ную вектору y.

Страницы