Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

106 Глава 4. Векторные пространства
Будем говорить, что на комплексном линейном пространстве X
введено скалярное произведение, если каждой паре элементов x, y это-
го пространства поставлено в соответствие, вообще говоря, комплекс-
ное число (x, y), и при этом выполнены аксиомы скалярного произве-
дения, задаваемые соотношениями вида 1)–3) с. 103. Если на линей-
ном комплексном пространстве X введено скалярное произведение,
его называют комплексным евклидовым пространством.
5. Приведем примеры евклидовых пространств.
Упражнение. Проверить, что в рассматриваемых ниже приме-
рах аксиомы скалярного произведения выполнены.
1) Пространство V
3
с введенным обычным образом скалярным
произведением (см. § 2, гл. 2) — вещественное евклидово простран-
ство.
2) Пусть p — интегрируемая положительная на интервале (a, b)
вещественной оси вещественная функция. Пространство C[a, b] пре-
вращается в вещественное евклидово пространство, если определить
скалярное произведение элементов f, g пространства C[a, b] по фор-
муле
(f, g) =
b
Z
a
p(x)f(x)g(x)dx. (5.1)
3) Для любой пары
p
n
(z) = a
0
+ a
1
z + ··· + a
n
z
n
, q
n
(z) = b
0
+ b
1
z + ··· + b
n
z
n
элементов пространства Q
n
определим скалярное произведение по
формуле
(p
n
, q
n
) =
n
X
j=0
ρ
j
a
j
b
j
,
где ρ
0
, ρ
1
, . . . , ρ
n
— заданные положительные числа. После введения
таким образом скалярного произведения пространство Q
n
становится
комплексным евклидовым пространством.
§ 3. Неравенство Коши — Буняковского
1. Тождество Пифагора. Пусть a, b — векторы трехмерного ев-
клидова пространства V
3
, причем векторы a − b и b ортогональны,
106                                                 Глава 4. Векторные пространства


    Будем говорить, что на комплексном линейном пространстве X
введено скалярное произведение, если каждой паре элементов x, y это-
го пространства поставлено в соответствие, вообще говоря, комплекс-
ное число (x, y), и при этом выполнены аксиомы скалярного произве-
дения, задаваемые соотношениями вида 1)–3) с. 103. Если на линей-
ном комплексном пространстве X введено скалярное произведение,
его называют комплексным евклидовым пространством.
      5. Приведем примеры евклидовых пространств.
    Упражнение. Проверить, что в рассматриваемых ниже приме-
рах аксиомы скалярного произведения выполнены.
    1) Пространство V3 с введенным обычным образом скалярным
произведением (см. § 2, гл. 2) — вещественное евклидово простран-
ство.
    2) Пусть p — интегрируемая положительная на интервале (a, b)
вещественной оси вещественная функция. Пространство C[a, b] пре-
вращается в вещественное евклидово пространство, если определить
скалярное произведение элементов f, g пространства C[a, b] по фор-
муле
                             Zb
                    (f, g) = p(x)f (x)g(x)dx.                 (5.1)
                                     a
      3) Для любой пары
      pn (z) = a0 + a1 z + · · · + an z n ,    qn (z) = b0 + b1 z + · · · + bn z n
элементов пространства Qn определим скалярное произведение по
формуле
                                   n
                                   X
                      (pn , qn ) =   ρj a j b j ,
                                              j=0

где ρ0 , ρ1 , . . . , ρn — заданные положительные числа. После введения
таким образом скалярного произведения пространство Qn становится
комплексным евклидовым пространством.

              § 3. Неравенство Коши — Буняковского

   1. Тождество Пифагора. Пусть a, b — векторы трехмерного ев-
клидова пространства V3 , причем векторы a − b и b ортогональны,

Страницы