Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 106 стр.

§ 2. Линейные пространства. Евклидовы пространства              105


ется вещественным линейным пространством, если определить обыч-
ным образом понятие суммы двух функций и умножение функции на
вещественное число.
    3) Множество всех вещественных функций, определенных и
непрерывных на замкнутом отрезке [a, b] вещественной оси, является
вещественным линейным пространством. Это пространство обозна-
чают через C[a, b]. При проверке того, что C[a, b] — линейное про-
странство, надо иметь в виду, что сумма двух непрерывных функций
есть непрерывная функция, при умножении функции на любое число
непрерывность функции также сохраняется.
    4) Множество всех функций из пространства C[a, b], равных нулю
в некоторой фиксированной точке c из отрезка [a, b], — вещественное
линейное пространство.
    5) Множество всех полиномов с комплексными коэффициентами,
на котором обычным образом определены операции сложения двух
полиномов и умножения полинома на число, является комплексным
линейным пространством.
    6) Множество Qn всех полиномов степени не выше n, где n > 0
есть фиксированное целое число, является комплексным линейным
пространством. Здесь надо иметь в виду, что сумма полиномов есть
полином, степень которого не превосходит максимальной степени сла-
гаемых.
    3. Упражнения
    1) Рассмотрим множество всех положительных функций, опреде-
ленных на вещественной оси. Определим на этом множестве опера-
цию сложения функций f и g как их произведение, а операцию умно-
жения функции f на число α как возведение ее в степень α. Будет
ли описанное нами множество линейным пространством?
    2) Рассмотрим множество всех четных функций, определенных
на отрезке [−1, 1]. Определим на этом множестве операцию сложения
двух функций как их произведение, а операцию умножения функции
на число будем понимать обычным образом. Будет ли описанное нами
множество линейным пространством?
    4. Будем говорить, что на вещественном линейном простран-
стве X введено скалярное произведение, если каждой паре элемен-
тов x, y этого пространства поставлено в соответствие вещественное
число (x, y), и при этом выполнены аксиомы скалярного произведе-
ния, задаваемые соотношениями вида 1)–3) с. 101. Если на линейном
вещественном пространстве X введено скалярное произведение, его
называют вещественным евклидовым пространством.