Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 104 стр.

§ 2. Линейные пространства. Евклидовы пространства                 103


   Важно иметь в виду, что C1 одновременно является и линейным
пространством и множеством всех скаляров. В дальнейшем будем
обозначать C1 через C.
    5. Комплексное евклидово пространство. Будем говорить, что
на пространстве Cn задано скалярное произведение, если каждой па-
ре векторов x, y ∈ Cn поставлено в соответствие число (x, y), вообще
говоря, комплексное, и при этом выполнены аксиомы скалярного про-
изведения:
    1) (x, x) > 0 для любого x ∈ Cn , равенства (x, x) = 0 и x = 0
эквивалентны;
    2) (x, y) = (y, x) для любых x, y ∈ Cn , напомним, что черта озна-
чает переход к комплексно сопряженному числу, и отметим, что в
отличие от вещественного евклидова пространства скалярное произ-
ведение в комплексном евклидовом пространстве некоммутативно;
    3) (αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z) для любых x, y, z ∈ Cn и лю-
бых α, β ∈ C.
    Из 2), 3) очевидным образом вытекает, что
    4) (x, αy + βz) = α(x, y) + β(x, z) для любых x, y, z ∈ Cn и лю-
бых α, β ∈ C.
    Если на пространстве Cn введено скалярное произведение, то его
называют комплексным евклидовым пространством (часто говорят
также: унитарное пространство).
    Можно указать бесчисленное множество способов введения ска-
лярного произведения на пространстве Cn , например, можно поло-
жить                                 n
                                     X
                            (x, y) =    xk y k .
                                    k=1
                                      n
Такое скалярное произведение на C называют стандартным. Про-
верка аксиом 1)–3) не вызывает никаких затруднений. На Cn также
можно ввести скалярные произведения аналогично (3.1).
   Длинуp(модуль) вектора |x| определяют при помощи соотноше-
ния |x| = (x, x). При этом выполняются свойства 1)–3) с. 101.

   § 2. Линейные пространства. Евклидовы пространства

    1. В линейной алгебре и во многих других разделах математи-
ки широко используются более общие конструкции, чем простран-
ства Rn и Cn . Говорят, что множество X является линейным про-
странством над полем вещественных чисел, или просто веществен-
ным линейным пространством, если для любых элементов x, y ∈ X