Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 102 стр.

§ 1. Пространства Rn и Cn                                              101


    3. Вещественное евклидово пространство. Будем говорить, что
на пространстве Rn задано скалярное произведение, если каждой па-
ре векторов x, y ∈ Rn поставлено в соответствие вещественное чис-
ло (x, y) и при этом выполнены так называемые аксиомы скалярно-
го произведения (моделирующие свойства скалярного произведения
векторов трехмерного евклидова пространства):
    1) (x, x) > 0 для любого x ∈ Rn , равенства (x, x) = 0 и x = 0
эквивалентны;
    2) (x, y) = (y, x) для любых x, y ∈ Rn , т. е. скалярное произведе-
ние коммутативно;
    3) (αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z) для любых x, y, z ∈ Rn и лю-
бых α, β ∈ R.
    Из 2), 3) очевидным образом вытекает, что
    4) (x, αy + βz) = α(x, y) + β(x, z) для любых x, y, z ∈ Rn и лю-
бых α, β ∈ R.
    Если на пространстве Rn введено скалярное произведение то его
называют вещественным евклидовым пространством.
    Можно указать бесчисленное множество способов введения ска-
лярного произведения на пространстве Rn , например, можно поло-
жить                                 n
                                     X
                            (x, y) =   xk yk .
                                        k=1
                                          n
Такое скалярное произведение на R называют стандартным. Про-
верка аксиом 1)–3) для стандартного скалярного произведения не вы-
зывает никаких затруднений.
   Укажем еще целый класс различных скалярных произведений.
Фиксируем n положительных чисел ρ1 , ρ2 , . . . , ρn и положим
                                       n
                                       X
                            (x, y) =         ρk x k y k .            (3.1)
                                       k=1

Справедливость аксиом 1)–3) очевидна. Меняя в (3.1) наборы чи-
сел ρ1 , ρ2 , . . . , ρn , получаем различные скалярные произведения.
    Можно показать, что если определитьp        длину (модуль) вектора |x|
при помощи соотношения |x| = (x, x), то длина вектора из Rn бу-
дет обладать свойствами, аналогичными свойствам длины вектора в
трехмерном евклидовом пространстве, а именно:
    1) |x| > 0 для любого вектора x ∈ Rn , равенство |x| = 0 эквива-
лентно равенству x = 0;
    2) |αx| = |α||x| для любых x ∈ Rn и α ∈ R;
    3) |x + y| 6 |x| + |y| для любых x, y ∈ Rn .