Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 100 стр.

                               Глава 4
                  Векторные пространства


                    § 1. Пространства Rn и Cn

    1. При изучении операций над векторами трехмерного евклидо-
ва пространства (см. § 2 гл. 2) было показано, что, фиксируя в про-
странстве некоторый базис, можно установить взаимно однозначное
соответствие между векторами и упорядоченными тройками веще-
ственных чисел (координатами вектора в этом базисе). При этом опе-
рации над векторами могут быть, фактически, заменены операциями
над их координатами.
    Аналогичная ситуация возникает и во многих других разделах
математики и ее приложений, когда приходится иметь дело с объек-
тами, описываемыми конечными наборами вещественных, а зачатую
и комплексных, чисел. При этом естественным образом возникает по-
нятие многомерного координатного пространства как множества упо-
рядоченных наборов чисел с введенными на них операциями (напри-
мер, такими, как операция сложения одноименных компонент двух
таких наборов).
    В этой главе мы будем систематически заниматься конструирова-
нием и изучением сходных пространств. Сначала будет введено про-
странство Rn , представляющее собой множество упорядоченных на-
боров из n вещественных чисел, потом пространство Cn , состоящее
из упорядоченных наборов комплексных чисел. Мы ограничимся при
этом лишь определениями и описанием простейших свойств этих про-
странств, поскольку в дальнейшем будут введены и изучены более
общие линейные пространства. Результаты, которые будут получены
для этих пространств, распространяются и на пространства Rn и Cn .
    2. Пространство Rn — это множество всех упорядоченных набо-
ров x = (x1 , x2 , . . . , xn ) вещественных чисел, n > 1 — фиксированное
целое число. Элементы пространства Rn будем называть векторами,
или точками, числа xk , k = 1, . . . , n, — компонентами вектора x.
    Два вектора x, y ∈ Rn будем считать равными тогда и только
тогда, когда xk = yk для всех k = 1, . . . , n. Вектор, у которого все
компоненты равны нулю, будем называть нулевым и обозначать сим-
волом 0.