Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 6. Блочные матрицы 97
есть блочная 2×2 матрица, I — единичная матрица, A
22
— квадратная
матрица, A
12
— прямоугольная, вообще говоря, матрица. Тогда
|A| = |A
22
|. (2.2)
Справедливость равенства (2.2) легко устанавливается разложением
определителя матрицы A по первому столбцу. Аналогично, если
A =
µ
A
11
A
12
0 I
, (2.3)
где A
11
— квадратная матрица, то |A| = |A
11
|.
3. Лемма. Пусть
A =
µ
A
11
A
12
0 A
22
, (3.1)
где A
11
, A
22
— квадратные матрицы. Тогда
|A| = |A
11
||A
22
|. (3.2)
Доказательство. Покажем сначала, что если матрица A
11
вы-
рождена, то |A| = 0. Обозначим через n
1
порядок матрицы A
11
, че-
рез n
2
— порядок матрицы A
22
. Если |A
11
| = 0, то существует век-
тор x
1
длины n
1
, не равный нулю, и такой, что A
11
x
1
= 0. Тогда
для ненулевого вектора x = (x
1
, 0, . . . , 0) длины n
1
+ n
2
, очевидно,
имеем Ax = 0, следовательно |A| = 0. Таким образом, показано, что
если |A
11
| = 0, то равенство (3.2) выполняется тривиальным обра-
зом. Пусть теперь |A
11
| 6= 0. Нетрудно убедиться, что справедливо
равенство
µ
A
11
A
12
0 A
22
=
µ
A
11
0
0 I
µ
I A
−1
11
A
12
0 A
22
(3.3)
и, следовательно,
|A| =
¯
¯
¯
¯
A
11
0
0 I
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
I A
−1
11
A
12
0 A
22
¯
¯
¯
¯
для завершения доказательства леммы теперь достаточно воспользо-
ваться результатами предыдущего пункта. ¤
Упражнения
1) Пусть
A =
A
11
0
0
. . .
0
A
12
A
22
0
. . .
0
A
13
A
23
A
33
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
A
1n
A
2n
A
3n
. . .
A
nn
§ 6. Блочные матрицы                                                   97


есть блочная 2×2 матрица, I — единичная матрица, A22 — квадратная
матрица, A12 — прямоугольная, вообще говоря, матрица. Тогда
                              |A| = |A22 |.                         (2.2)
Справедливость равенства (2.2) легко устанавливается разложением
определителя матрицы A по первому столбцу. Аналогично, если
                             µ         ¶
                              A11 A12
                       A=                ,                  (2.3)
                                0   I
где A11 — квадратная матрица, то |A| = |A11 |.
   3. Лемма. Пусть
                              µ        ¶
                               A11 A12
                           A=            ,                          (3.1)
                                0 A22
где A11 , A22 — квадратные матрицы. Тогда
                            |A| = |A11 ||A22 |.                     (3.2)
  Доказательство. Покажем сначала, что если матрица A11 вы-
рождена, то |A| = 0. Обозначим через n1 порядок матрицы A11 , че-
рез n2 — порядок матрицы A22 . Если |A11 | = 0, то существует век-
тор x1 длины n1 , не равный нулю, и такой, что A11 x1 = 0. Тогда
для ненулевого вектора x = (x1 , 0, . . . , 0) длины n1 + n2 , очевидно,
имеем Ax = 0, следовательно |A| = 0. Таким образом, показано, что
если |A11 | = 0, то равенство (3.2) выполняется тривиальным обра-
зом. Пусть теперь |A11 | 6= 0. Нетрудно убедиться, что справедливо
равенство       µ          ¶ µ           ¶µ               ¶
                  A11 A12         A11 0       I A−1   A
                                                   11 12
                              =                                     (3.3)
                   0 A22           0 I        0       A22
и, следовательно,             ¯     ¯¯              ¯
                              ¯A11 0¯ ¯I A−1 A12 ¯
                       |A| = ¯¯     ¯¯       11     ¯
                                0 I ¯ ¯0        A22 ¯
для завершения доказательства леммы теперь достаточно воспользо-
ваться результатами предыдущего пункта. ¤
    Упражнения
    1) Пусть
                                                             
                    A11     A12       A13        ...     A1n
                    0      A22       A23        ...     A2n 
                                                             
           A=       0        0       A33        ...     A3n 
                ...        ...        ...       ...      ... 
                     0        0         0        ...     Ann

Страницы