Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 6. Блочные матрицы 95
но (см. (3.2))
n
Y
i=1
det P
i
n
Y
i=1
det L
−1
i
= det A,
т. е. равенство (4.1) доказано.
5. Задачи
1) Пусть A — квадратная матрица. Определители
∆
1
= a
11
, ∆
2
=
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
21
a
22
¯
¯
¯
¯
, . . . , ∆
n
= |A| =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . a
nn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
называются главными минорами матрицы A. Показать, что если
все главные миноры матрицы A отличны от нуля, (5.1)
то, реализуя метод Гаусса, можно полагать все матрицы P
1
, . . . , P
n
равными единичной матрице, т. е. опускать операцию поиска макси-
мального по модулю элемента в соответствующих столбцах.
2) Показать, что если выполнено условие (5.1), то матрица A пред-
ставима в виде
A = LU, (5.2)
где L — нижняя треугольная матрица с ненулевыми элементами на
главной диагонали, U — верхняя треугольная матрица с единицами
на главной диагонали.
Равенство (5.2) определяет так называемое треугольное разложе-
ние матрицы A.
3) Показать, что матрицы L, U с указанными свойствами опреде-
ляются равенством (5.2) однозначно.
4) Показать, что условие (5.1) необходимо для того, чтобы мат-
рицу A можно было представить в виде (5.2).
§ 6. Блочные матрицы
1. Во многих случаях оказывается полезным “разрезать” матри-
цу на блоки, т. е. представить ее в виде
A =
A
11
A
12
. . . A
1m
A
21
A
22
. . . A
2m
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
n1
A
n2
. . . A
nm
, (1.1)
§ 6. Блочные матрицы                                                                95


но (см. (3.2))
                        n
                        Y               n
                                        Y
                               det Pi         det L−1
                                                   i = det A,
                         i=1            i=1
т. е. равенство (4.1) доказано.
  5. Задачи
  1) Пусть A — квадратная матрица. Определители
                                                  ¯                                 ¯
                 ¯         ¯                      ¯ a11 a12 . . . a1n ¯
                 ¯a11 a12 ¯                       ¯                                 ¯
                 ¯         ¯                      ¯ a21 a22 . . . a2n ¯
 ∆1 = a11 , ∆2 = ¯           , . . . , ∆n = |A| = ¯                                 ¯
                   a21 a22 ¯                      ¯. . . . . . . . . . . . . . . . .¯
                                                  ¯a a                              ¯
                                                     n1       n2 . . . ann

называются главными минорами матрицы A. Показать, что если
          все главные миноры матрицы A отличны от нуля,                          (5.1)
то, реализуя метод Гаусса, можно полагать все матрицы P1 , . . . , Pn
равными единичной матрице, т. е. опускать операцию поиска макси-
мального по модулю элемента в соответствующих столбцах.
    2) Показать, что если выполнено условие (5.1), то матрица A пред-
ставима в виде
                              A = LU,                            (5.2)
где L — нижняя треугольная матрица с ненулевыми элементами на
главной диагонали, U — верхняя треугольная матрица с единицами
на главной диагонали.
    Равенство (5.2) определяет так называемое треугольное разложе-
ние матрицы A.
    3) Показать, что матрицы L, U с указанными свойствами опреде-
ляются равенством (5.2) однозначно.
    4) Показать, что условие (5.1) необходимо для того, чтобы мат-
рицу A можно было представить в виде (5.2).

                          § 6. Блочные матрицы

    1. Во многих случаях оказывается полезным “разрезать” матри-
цу на блоки, т. е. представить ее в виде
                                              
                            A11 A12 . . . A1m
                          A A22 . . . A2m 
                     A =  21                    ,          (1.1)
                            .................. 
                            An1 An2 . . . Anm

Страницы