Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

94 Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители
Максимальным из чисел a
(2)
22
, a
(2)
32
является a
(2)
32
, поэтому меняем местами вторую и
третью строки матрицы A
2
, а также второй и третий элемент столбца b
2
. Получим
˜
A
2
=
1 2/3 −1/3
0 4 16
0 0 10
,
˜
b
2
=
4/3
56
30
.
Делим вторую строку матрицы
˜
A
2
и второй элемент столбца
˜
b
2
на 4. Получаем
A
2
=
1 2/3 −1/3
0 1 4
0 0 10
, b
2
=
4/3
14
30
.
Наконец, делим последнюю строку матрицы A
2
и последний элемент столбца b
2
на 10.
Получаем
A
3
=
1 2/3 −1/3
0 1 4
0 0 1
, b
3
=
4/3
14
3
.
Прямой ход метода Гаусса закончен. Теперь выполняем обратный ход метода Гаусса.
Последовательно находим x
3
= 3, x
2
= 14 − 3 · 4 = 2, x
1
= 4/3 − (2/3) · 2 + (1/3) · 3 = 1.
В ходе реализации метода Гаусса мы, фактически, подсчитали и определитель мат-
рицы A. По формуле (3.3) его абсолютная величина равна произведению ведущих эле-
ментов метода Гаусса, т. е. тех чисел, на которые приходилось выполнять деление при
приведении матрицы A к треугольному виду. В рассматриваемом примере — это 9, 4, 10.
Было выполнено две перестановки строк, следовательно, определитель равен произве-
дению ведущих элементов: det(A) = 360.
4. Определитель произведения матриц. Покажем, если A, B —
произвольные квадратные матрицы, то
det(AB) = det A det B. (4.1)
Если матрица A вырождена, то, как было установлено выше (см.
с. 84), матрица AB также вырождена, и в этом случае равенство (4.1)
тривиально выполняется. Если матрица A невырождена, то, приме-
няя (3.1), получим
AB = P
1
L
−1
1
P
2
L
−1
1
···P
n
L
−1
n
UB.
В этом произведении каждый сомножитель, кроме B, есть либо мат-
рица перестановки, либо треугольная матрица, следовательно,
det(AB) =
n
Y
i=1
det P
i
n
Y
i=1
det L
−1
i
det(U) det B =
=
n
Y
i=1
det P
i
n
Y
i=1
det L
−1
i
det B, (4.2)
94                Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители


                            (2)       (2)         (2)
Максимальным из чисел a22 , a32 является a32 , поэтому меняем местами вторую и
третью строки матрицы A2 , а также второй и третий элемент столбца b2 . Получим
                                                       
                              1 2/3 −1/3              4/3
                     Ã2 = 0 4        16  , b̃2 =  56  .
                              0 0      10              30

Делим вторую строку матрицы Ã2 и второй элемент столбца b̃2 на 4. Получаем
                                                     
                           1 2/3 −1/3               4/3
                     A2 = 0 1         4  , b2 =  14  .
                           0 0        10             30

Наконец, делим последнюю строку матрицы A2 и последний элемент столбца b2 на 10.
Получаем                                            
                            1 2/3 −1/3             4/3
                      A3 = 0 1       4  , b3 =  14  .
                            0 0       1              3
Прямой ход метода Гаусса закончен. Теперь выполняем обратный ход метода Гаусса.
Последовательно находим x3 = 3, x2 = 14 − 3 · 4 = 2, x1 = 4/3 − (2/3) · 2 + (1/3) · 3 = 1.
    В ходе реализации метода Гаусса мы, фактически, подсчитали и определитель мат-
рицы A. По формуле (3.3) его абсолютная величина равна произведению ведущих эле-
ментов метода Гаусса, т. е. тех чисел, на которые приходилось выполнять деление при
приведении матрицы A к треугольному виду. В рассматриваемом примере — это 9, 4, 10.
Было выполнено две перестановки строк, следовательно, определитель равен произве-
дению ведущих элементов: det(A) = 360.

   4. Определитель произведения матриц. Покажем, если A, B —
произвольные квадратные матрицы, то
                                det(AB) = det A det B.                               (4.1)
    Если матрица A вырождена, то, как было установлено выше (см.
с. 84), матрица AB также вырождена, и в этом случае равенство (4.1)
тривиально выполняется. Если матрица A невырождена, то, приме-
няя (3.1), получим
                         AB = P1 L−1    −1          −1
                                  1 P2 L1 · · · Pn Ln U B.

В этом произведении каждый сомножитель, кроме B, есть либо мат-
рица перестановки, либо треугольная матрица, следовательно,
                 n
                 Y              n
                                Y
     det(AB) =         det Pi         det L−1
                                           i det(U ) det B =
                 i=1            i=1
                                                  n
                                                  Y              n
                                                                 Y
                                              =         det Pi         det L−1
                                                                            i det B, (4.2)
                                                  i=1            i=1

Страницы