Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

92 Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители
Продолжая этот процесс, в конце концов получим систему урав-
нений
Ux = f (2.10)
(очевидно, эквивалентную исходной), где
U = L
n
P
n
L
n−1
P
n−1
···L
1
P
1
A, (2.11)
f = L
n
P
n
L
n−1
P
n−1
···L
1
P
1
b,
причем
U =
1 a
(2)
12
a
(2)
13
. . . a
(2)
1n−1
a
(2)
1n
0 1 a
(3)
23
. . . a
(3)
2n−1
a
(3)
2n
0 0 1 . . . a
(4)
3n−1
a
(4)
3n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1 a
(n)
n−1,n
0 0 0 . . . 0 1
(2.12)
есть верхняя треугольная матрица с единицами на главной диагона-
ли.
Решение системы (2.10) не вызывает затруднений. Из последнего
уравнения этой системы находим x
n
= f
n
, из предпоследнего
x
n−1
= f
n−1
− a
(n)
n−1,n
x
n
(2.13)
и так далее, наконец, из первого уравнения находим
x
1
= f
1
− a
(2)
1,2
x
2
− a
(2)
1,3
x
3
− . . . − a
(2)
1,n
x
n
. (2.14)
Таким образом, реализация метода Гаусса состоит из двух эта-
пов. На первом этапе, называемым прямым ходом метода Гаусса,
исходная система преобразуется к системе с треугольной матрицей.
На втором этапе, называемым обратным ходом метода Гаусса, ре-
шается система с треугольной матрицей.
Замечание. Выбор максимального по модулю элемента столбца
при выполнении прямого хода метода Гаусса минимизирует влияние
ошибок округления в реальных расчетах на компьютере. Если не за-
ботиться об ошибках округления, то на очередном шаге прямого хода
метода Гаусса можно выбирать любой ненулевой элемент столбца.
92               Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители


   Продолжая этот процесс, в конце концов получим систему урав-
нений
                            Ux = f                        (2.10)
(очевидно, эквивалентную исходной), где
                         U = Ln Pn Ln−1 Pn−1 · · · L1 P1 A,                     (2.11)
                          f = Ln Pn Ln−1 Pn−1 · · · L1 P1 b,
причем                                                                         
                            (2)      (2)                 (2)             (2)
                     1 a12 a13 . . . a1n−1 a1n
                                    (3)                 (3)             (3) 
                   0 1 a23 . . . a2n−1 a2n 
                                                        (4)             (4) 
                   0 0              1       .  . .    a              a         
               U =                                      3n−1            3n      (2.12)
                   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
                                                                     (n)
                                                                                
                   0 0              0 ...                 1        an−1,n 
                     0 0             0 ...                 0            1
есть верхняя треугольная матрица с единицами на главной диагона-
ли.
    Решение системы (2.10) не вызывает затруднений. Из последнего
уравнения этой системы находим xn = fn , из предпоследнего
                                                 (n)
                             xn−1 = fn−1 − an−1,n xn                            (2.13)
и так далее, наконец, из первого уравнения находим
                                 (2)       (2)                 (2)
                   x1 = f1 − a1,2 x2 − a1,3 x3 − . . . − a1,n xn .              (2.14)
    Таким образом, реализация метода Гаусса состоит из двух эта-
пов. На первом этапе, называемым прямым ходом метода Гаусса,
исходная система преобразуется к системе с треугольной матрицей.
На втором этапе, называемым обратным ходом метода Гаусса, ре-
шается система с треугольной матрицей.
   Замечание. Выбор максимального по модулю элемента столбца
при выполнении прямого хода метода Гаусса минимизирует влияние
ошибок округления в реальных расчетах на компьютере. Если не за-
ботиться об ошибках округления, то на очередном шаге прямого хода
метода Гаусса можно выбирать любой ненулевой элемент столбца.

Страницы