Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

90 Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители
Умножим обе части уравнения на матрицу перестановки P
i1
.
В дальнейшем будем обозначать эту матрицу через P
1
(заметим, что
она равна единичной, если максимальный по модулю элемент первого
столбца матрицы A есть a
11
). Получим
A
1
x = b
1
, (2.1)
где A
1
= P
1
A, b
1
= P
1
b. Поясним, что матрица A
1
получается из
матрицы A перестановкой первой и i-й строк, столбец b
1
получает-
ся из столбца b перестановкой первого и i-го элементов. Элементы
матрицы A
1
обозначим через a
(1)
kl
, элементы столбца b
1
— через b
1
k
.
По построению a
(1)
11
6= 0.
Умножим обе части уравнения (2.1) на элементарную нижнюю
треугольную матрицу
L
1
=
l
1,1
0 0 . . . 0 0
l
2,1
1 0 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
l
n−1,1
0 0 . . . 1 0
l
n,1
0 0 . . . 0 1
, (2.2)
где l
11
= 1/a
(1)
11
, l
21
= −a
(1)
21
/a
(1)
11
, . . . , l
n1
= −a
(1)
n1
/a
(1)
11
. Получим
A
2
x = b
2
, (2.3)
где A
2
= L
1
A
1
, b
2
= L
1
b
1
. Вычисляя произведение L
1
A
1
, найдем, что
A
2
=
1 a
(2)
12
a
(2)
13
. . . a
(2)
1n
0 a
(2)
22
a
(2)
23
. . . a
(2)
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 a
(2)
n2
a
(2)
n3
. . . a
(2)
nn
. (2.4)
Поясним, что умножение L
1
на A
1
равносильно следующему пре-
образованию матрицы A
1
: все элементы первой строки матрицы A
1
делятся на a
(1)
11
, затем для всех i = 2, . . . , n первая стока умножается
на a
(1)
i1
и вычитается из i-й строки матрицы A
1
. Аналогично, элемен-
ты столбца b
2
вычисляются по формулам b
2
1
= b
1
1
/a
(1)
11
, b
2
i
= b
1
i
−b
2
1
a
(1)
i1
,
где i = 2, . . . , n.
Важно подчеркнуть, что все элементы первого столбца матри-
цы A
2
, кроме первого, оказываются при этом равными нулю.
Выберем среди элементов a
(2)
22
, . . . , a
(2)
n2
максимальный по модулю.
Пусть этот элемент есть a
(2)
i2
. Он не может равняться нулю. Действи-
тельно, если он равен нулю, то все числа a
(2)
22
, a
(2)
22
, . . . , a
(2)
n2
— нули и
90              Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители


    Умножим обе части уравнения на матрицу перестановки Pi1 .
В дальнейшем будем обозначать эту матрицу через P1 (заметим, что
она равна единичной, если максимальный по модулю элемент первого
столбца матрицы A есть a11 ). Получим
                                  A1 x = b 1 ,                          (2.1)
где A1 = P1 A, b1 = P1 b. Поясним, что матрица A1 получается из
матрицы A перестановкой первой и i-й строк, столбец b1 получает-
ся из столбца b перестановкой первого и i-го элементов. Элементы
                                     (1)
матрицы A1 обозначим через akl , элементы столбца b1 — через b1k .
                (1)
По построению a11 6= 0.
    Умножим обе части уравнения (2.1) на элементарную нижнюю
треугольную матрицу
                                                                   
                            l1,1 0 0 . . . 0 0
                         l2,1 1 0 . . . 0 0
                                                                   
                   L1 =  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  , (2.2)
                        l                                          
                           n−1,1 0 0 . . . 1 0
                            ln,1 0 0 . . . 0 1
              (1)          (1)   (1)              (1)   (1)
где l11 = 1/a11 , l21 = −a21 /a11 , . . . , ln1 = −an1 /a11 . Получим
                                  A2 x = b 2 ,                          (2.3)
где A2 = L1 A1 , b2 = L1 b1 . Вычисляя произведение L1 A1 , найдем, что
                                                                     
                                    (2)      (2)                 (2)
                              1 a12 a13 . . . a1n
                                                                (2) 
                           0 a(2)         a
                                             (2)
                                                     . .  .    a      
                    A2 =           22       23                  2n  . (2.4)
                           . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
                                    (2)      (2)                 (2)
                              0 an2 an3 . . . ann
    Поясним, что умножение L1 на A1 равносильно следующему пре-
образованию матрицы A1 : все элементы первой строки матрицы A1
                 (1)
делятся на a11 , затем для всех i = 2, . . . , n первая стока умножается
     (1)
на ai1 и вычитается из i-й строки матрицы A1 . Аналогично, элемен-
                                                         (1)            (1)
ты столбца b2 вычисляются по формулам b21 = b11 /a11 , b2i = b1i − b21 ai1 ,
где i = 2, . . . , n.
    Важно подчеркнуть, что все элементы первого столбца матри-
цы A2 , кроме первого, оказываются при этом равными нулю.
                                (2)         (2)
    Выберем среди элементов a22 , . . . , an2 максимальный по модулю.
                          (2)
Пусть этот элемент есть ai2 . Он не может равняться нулю. Действи-
                                                (2)  (2)      (2)
тельно, если он равен нулю, то все числа a22 , a22 , . . . , an2 — нули и

Страницы