Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 90 стр.

§ 5. Метод Гаусса. Треугольное разложение матрицы               89


   Вещественная унитарная матрица называется ортогональной
матрицей. Определитель ортогональной матрицы может быть равен
только плюс единице или минус единице. Примеры ортогональных
матриц: матрица перестановки Pkl , матрица второго порядка
                            µ              ¶
                             cos ϕ − sin ϕ
                   Q2 (ϕ) =                  ,
                              sin ϕ cos ϕ

где ϕ — любое вещественное число.

    § 5. Метод Гаусса. Треугольное разложение матрицы

   1. В основе метода Гаусса, как, впрочем, и многих других мето-
дов решения системы линейных алгебраических уравнений
                                 Ax = b,                     (1.1)
лежит следующее утверждение. Пусть матрица B невырождена. То-
гда система уравнений
                         BAx = Bb                       (1.2)
эквивалентна системе (1.1), т. е. решение системы (1.2) — решение
системы (1.1) и, наоборот, решение системы (1.1) — решение систе-
мы (1.2).
    Действительно, пусть x — решение системы (1.2). Тогда
                             B(Ax − b) = 0,
но матрица B невырождена, следовательно, Ax − b = 0. Обратное
утверждение очевидно.
   Матрица B выбирается так, чтобы матрица BA была проще мат-
рицы A и решение системы (1.2) находилось легче, чем решение си-
стемы (1.1).
   В методе Гаусса матрица B конструируется при помощи элемен-
тарных нижних треугольных матриц так, чтобы матрица BA была
верхней треугольной. Тогда решение системы (1.2) становится триви-
альной задачей.
    2. Переходим к описанию метода Гаусса решения крамеров-
ских систем. Выберем среди элементов первого столбца матрицы A
максимальный по модулю. Пусть это элемент ai1 . Он не может ока-
заться равным нулю, так как тогда все элементы первого столбца
матрицы A — нули и, значит, |A| = 0, но система по предположению
крамеровская, т. е. определитель матрицы A не нуль.