Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 4. Алгебра матриц 87
Упражнения
1) Пусть матрицы A
1
, A
2
, . . . , A
p
— невырождены. Показать, что
(A
1
A
2
···A
p
)
−1
= A
−1
p
A
−1
p−1
···A
−1
1
.
2) Пусть P
ik
— матрица перестановки. Показать, что P
−1
ik
= P
ik
.
3) Пусть L
k
есть элементарная нижняя треугольная матрица
и l
kk
6= 0. Показать, что
L
−1
k
=
1 . . . 0 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . 1/l
k,k
0 . . . 0
0 . . . −l
k+1,k
/l
k,k
1 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . −l
n,k
/l
k,k
0 . . . 1
.
4) Пусть L — нижняя треугольная матрица, у которой все элемен-
ты главной диагонали отличны от нуля. Показать, что матрица L
−1
существует и является нижней треугольной матрицей. Показать, что
аналогичное верно и для верхних треугольных матриц.
10. Опишем некоторые классы квадратных матриц, часто возни-
кающих в различных задачах линейной алгебры. В настоящем пункте
мы приведем и некоторые простейшие свойства этих матриц. Более
подробное исследование различных классов квадратных матриц бу-
дет проведено в гл. 6.
Пусть A — прямоугольная матрица. Матрица A
∗
= (
A)
T
назы-
вается сопряженной по отношению к матрице A. Поясним, что эле-
менты матрицы A комплексно сопряжены по отношению к элементам
матрицы A. Ясно, что
(A
∗
)
∗
= A, (αA)
∗
= αA
∗
, (A + B)
∗
= A
∗
+ B
∗
.
Квадратная матрица A называется эрмитовой (самосопряжен-
ной), если A = A
∗
.
Определитель эрмитовой матрицы — вещественное число. В са-
мом деле, поскольку det(A
∗
) = det((A)
T
) = det(A) = det(A), то для
эрмитовой матрицы det(A) = det(A).
Любая квадратная матрица A представима в виде
A = H
1
+ iH
2
, (10.1)
здесь H
1
, H
2
— эрмитовы матрицы, i — мнимая единица. Матри-
цы H
1
, H
2
однозначно определяются матрицей A. Возможность пред-
ставления (10.1) вытекает из очевидного тождества
A =
1
2
(A + A
∗
) + i
1
2i
(A − A
∗
)
§ 4. Алгебра матриц                                                             87


    Упражнения
    1) Пусть матрицы A1 , A2 , . . . , Ap — невырождены. Показать, что
                      (A1 A2 · · · Ap )−1 = A−1 −1         −1
                                             p Ap−1 · · · A1 .

    2) Пусть Pik — матрица перестановки. Показать, что Pik−1 = Pik .
    3) Пусть Lk есть элементарная нижняя треугольная матрица
и lkk 6= 0. Показать, что
                                                                                
                        1 ...                   0              0 ... 0
                      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
                                                                                
                 −1   0 . . .              1/lk,k             0 . . . 0
               Lk =                                                             .
                      0 . . . −lk+1,k /lk,k 1 . . . 0
                      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
                        0 . . . −ln,k /lk,k 0 . . . 1
   4) Пусть L — нижняя треугольная матрица, у которой все элемен-
ты главной диагонали отличны от нуля. Показать, что матрица L−1
существует и является нижней треугольной матрицей. Показать, что
аналогичное верно и для верхних треугольных матриц.
    10. Опишем некоторые классы квадратных матриц, часто возни-
кающих в различных задачах линейной алгебры. В настоящем пункте
мы приведем и некоторые простейшие свойства этих матриц. Более
подробное исследование различных классов квадратных матриц бу-
дет проведено в гл. 6.
    Пусть A — прямоугольная матрица. Матрица A∗ = (A)T назы-
вается сопряженной по отношению к матрице A. Поясним, что эле-
менты матрицы A комплексно сопряжены по отношению к элементам
матрицы A. Ясно, что
           (A∗ )∗ = A,      (αA)∗ = αA∗ ,     (A + B)∗ = A∗ + B ∗ .
   Квадратная матрица A называется эрмитовой (самосопряжен-
ной), если A = A∗ .
   Определитель эрмитовой матрицы — вещественное число. В са-
мом деле, поскольку det(A∗ ) = det((A)T ) = det(A) = det(A), то для
эрмитовой матрицы det(A) = det(A).
   Любая квадратная матрица A представима в виде
                                 A = H1 + iH2 ,                             (10.1)
здесь H1 , H2 — эрмитовы матрицы, i — мнимая единица. Матри-
цы H1 , H2 однозначно определяются матрицей A. Возможность пред-
ставления (10.1) вытекает из очевидного тождества
                        1            1
                   A = (A + A∗ ) + i (A − A∗ )
                        2            2i

Страницы