Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

86 Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители
Отсюда вытекает, что если |A| 6= 0, то
A
−1
= |A|
−1
˜
A (9.6)
есть матрица, обратная матрице A.
Пример. Построим матрицу, обратную к матрице
A =
3 −1 0
−2 1 1
2 −1 4
.
Вычислим сначала определитель матрицы A, разлагая его по первой строке:
|A| = 3
¯
¯
¯
¯
1 1
−1 4
¯
¯
¯
¯
+
¯
¯
¯
¯
−2 1
2 4
¯
¯
¯
¯
= 5.
Теперь подсчитаем алгебраические дополнения элементов матрицы A:
A
11
=
¯
¯
¯
¯
1 1
−1 4
¯
¯
¯
¯
= 5, A
12
= −
¯
¯
¯
¯
−2 1
2 4
¯
¯
¯
¯
= 10, A
13
=
¯
¯
¯
¯
−2 1
2 −1
¯
¯
¯
¯
= 0,
A
21
= −
¯
¯
¯
¯
−1 0
−1 4
¯
¯
¯
¯
= 4, A
22
=
¯
¯
¯
¯
3 0
2 4
¯
¯
¯
¯
= 12, A
23
= −
¯
¯
¯
¯
3 −1
2 −1
¯
¯
¯
¯
= 1,
A
31
=
¯
¯
¯
¯
−1 0
1 1
¯
¯
¯
¯
= −1, A
32
= −
¯
¯
¯
¯
3 0
−2 1
¯
¯
¯
¯
= −3, A
33
=
¯
¯
¯
¯
3 −1
−2 1
¯
¯
¯
¯
= 1.
По формуле (9.6)
A
−1
=
1
|A|
A
11
A
21
A
31
A
12
A
22
A
32
A
13
A
23
A
33
=
1 4/5 −1/5
2 12/5 −3/5
0 1/5 1/5
.
Отметим некоторые свойства обратной матрицы.
1) Матрица A
−1
невырождена, (A
−1
)
−1
= A. Это утверждение
очевидное следствие равенства AA
−1
= I.
2) Если матрицы A, B невырождены, то
(AB)
−1
= B
−1
A
−1
.
Действительно, AB(B
−1
A
−1
) = A(BB
−1
)A
−1
= AA
−1
= I.
3) Если матрица A невырождена, то матрица A
T
невырождена и
(A
T
)
−1
= (A
−1
)
T
.
Невырожденность матрицы A
T
— следствие равенства |A
T
| = |A|.
Используя свойство 3 б), с. 84, можем написать
(A
T
)(A
−1
)
T
= (A
−1
A)
T
= I
T
= I,
т. е. матрица (A
−1
)
T
— обратная к A
T
.
86                 Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители


Отсюда вытекает, что если |A| 6= 0, то

                                   A−1 = |A|−1 Ã                             (9.6)
есть матрица, обратная матрице A.
     Пример. Построим матрицу, обратную к матрице
                                            
                                     3 −1 0
                             A = −2     1 1 .
                                     2 −1 4

Вычислим сначала определитель матрицы A, разлагая его по первой строке:
                                 ¯     ¯ ¯     ¯
                                 ¯ 1 1¯ ¯−2 1¯
                                 ¯
                         |A| = 3 ¯     ¯ + ¯   ¯ = 5.
                                   −1 4¯ ¯ 2 4¯

Теперь подсчитаем алгебраические дополнения элементов матрицы A:
                 ¯      ¯               ¯      ¯             ¯       ¯
                 ¯ 1 1¯                 ¯−2 1¯               ¯−2   1¯¯
        A11 = ¯  ¯      ¯ = 5, A12 = − ¯¯      ¯             ¯
                                                 = 10, A13 = ¯         = 0,
                   −1 4¯                   2 4¯                 2 −1¯
                 ¯      ¯               ¯      ¯             ¯      ¯
                 ¯−1 0¯                 ¯      ¯             ¯      ¯
        A21 = − ¯¯      ¯ = 4, A22 = ¯ 3 0¯ = 12, A23 = − ¯ 3 −1¯ = 1,
                   −1 4 ¯               ¯  2 4 ¯             ¯  2 −1¯
                ¯       ¯               ¯      ¯             ¯       ¯
                ¯−1 0¯                  ¯ 3 0¯               ¯ 3 −1¯
        A31 = ¯ ¯       ¯               ¯
                          = −1, A32 = − ¯      ¯             ¯
                                                 = −3, A33 = ¯       ¯ = 1.
                    1 1¯                  −2 1¯                −2  1¯

По формуле (9.6)
                                                          
                            1 A 11 A 21 A 31     1 4/5 −1/5
                   A−1   =     A12 A22 A32  = 2 12/5 −3/5 .
                           |A| A
                                 13 A23 A33       0 1/5  1/5

   Отметим некоторые свойства обратной матрицы.
   1) Матрица A−1 невырождена, (A−1 )−1 = A. Это утверждение
очевидное следствие равенства AA−1 = I.
   2) Если матрицы A, B невырождены, то
                                (AB)−1 = B −1 A−1 .
Действительно, AB(B −1 A−1 ) = A(BB −1 )A−1 = AA−1 = I.
   3) Если матрица A невырождена, то матрица AT невырождена и
                                 (AT )−1 = (A−1 )T .
Невырожденность матрицы AT — следствие равенства |AT | = |A|.
Используя свойство 3 б), с. 84, можем написать
                         (AT )(A−1 )T = (A−1 A)T = I T = I,
т. е. матрица (A−1 )T — обратная к AT .

Страницы