Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 4. Алгебра матриц 85
ма (9.1) имеет нетривиальное решение. Пусть матрица B вырождена.
Тогда существует вектор x 6= 0 такой, что Bx = 0, значит ABx = 0.
Пусть теперь A вырождена, а B невырождена. Существует век-
тор y 6= 0 такой, что Ay = 0. Так как B невырождена существует
единственный вектор x такой, что Bx = y, причем x не равен нулю,
так как y 6= 0. Вновь, получаем, что ABx = 0 при x 6= 0.
Матрица X называется правой обратной к квадратной матри-
це A, если
AX = I. (9.2)
Матрица Y называется левой обратной к квадратной матрице A, если
Y A = I. (9.3)
Вырожденная матрица не имеет обратной матрицы. Действитель-
но, если правая обратная матрица X существует, то
det(AX) = det(I) = 1.
С другой стороны det(AX) = 0, так как A вырождена. Точно так
же доказывается невозможность существования левой обратной у вы-
рожденной матрицы.
Если det(A) 6= 0, то правая обратная матрица существует и опре-
деляется единственным образом. Действительно, обозначим через x
k
столбцы матрицы X, а через i
k
столбцы матрицы I. Уравнение (9.2)
распадается на совокупность систем уравнений
Ax
k
= i
k
, k = 1, 2, . . . , n. (9.4)
Поскольку матрица A невырождена, каждая из этих систем имеет
единственное решение. Точно так же доказывается существование и
единственность левой обратной матрицы.
На самом деле, правая и левая обратная матрица совпадают. Дей-
ствительно, если Y A = I, то Y AX = X, но AX = I, т. е. Y = X.
Обратную матрицу к матрице A обозначают через A
−1
. Укажем
явный вид матрицы A
−1
. Введем в рассмотрение так называемую при-
соединенную к матрице A матрицу
˜
A =
A
11
A
21
. . . A
n1
A
12
A
22
. . . A
n2
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
1n
A
2n
. . . A
nn
.
Здесь A
ij
— алгебраическое дополнение элемента a
ij
матрицы A. Фор-
мулы (2.1), с. 67, можно записать в матричном виде
A
˜
A = |A|I. (9.5)
§ 4. Алгебра матриц                                             85


ма (9.1) имеет нетривиальное решение. Пусть матрица B вырождена.
Тогда существует вектор x 6= 0 такой, что Bx = 0, значит ABx = 0.
    Пусть теперь A вырождена, а B невырождена. Существует век-
тор y 6= 0 такой, что Ay = 0. Так как B невырождена существует
единственный вектор x такой, что Bx = y, причем x не равен нулю,
так как y 6= 0. Вновь, получаем, что ABx = 0 при x 6= 0.
    Матрица X называется правой обратной к квадратной матри-
це A, если
                              AX = I.                        (9.2)
Матрица Y называется левой обратной к квадратной матрице A, если
                               Y A = I.                      (9.3)
    Вырожденная матрица не имеет обратной матрицы. Действитель-
но, если правая обратная матрица X существует, то
                        det(AX) = det(I) = 1.
С другой стороны det(AX) = 0, так как A вырождена. Точно так
же доказывается невозможность существования левой обратной у вы-
рожденной матрицы.
   Если det(A) 6= 0, то правая обратная матрица существует и опре-
деляется единственным образом. Действительно, обозначим через x k
столбцы матрицы X, а через ik столбцы матрицы I. Уравнение (9.2)
распадается на совокупность систем уравнений
                      Axk = ik ,   k = 1, 2, . . . , n.      (9.4)
Поскольку матрица A невырождена, каждая из этих систем имеет
единственное решение. Точно так же доказывается существование и
единственность левой обратной матрицы.
    На самом деле, правая и левая обратная матрица совпадают. Дей-
ствительно, если Y A = I, то Y AX = X, но AX = I, т. е. Y = X.
    Обратную матрицу к матрице A обозначают через A−1 . Укажем
явный вид матрицы A−1 . Введем в рассмотрение так называемую при-
соединенную к матрице A матрицу
                                             
                           A11 A21 . . . An1
                          A A22 . . . An2 
                    Ã =  12                   .
                           .................. 
                           A1n A2n . . . Ann
Здесь Aij — алгебраическое дополнение элемента aij матрицы A. Фор-
мулы (2.1), с. 67, можно записать в матричном виде
                              AÃ = |A|I.                    (9.5)

Страницы