Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 4. Алгебра матриц 83
3) Показать, что если L, M — нижние треугольные матрицы (раз-
мера n × n), то матрица LM — нижняя треугольная. Показать, что
аналогичное верно и для верхних треугольных матриц.
4) Показать, что нижняя треугольная матрица L равна произ-
ведению элементарных нижних треугольных матриц L
k
(см. (2.5)),
т. е. L = L
1
L
2
···L
n−1
L
n
.
Указание. Проведите вычисления в соответствии со следующей
расстановкой скобок: L = L
1
(L
2
···(L
n−2
(L
n−1
L
n
) . . . ), т. е. сначала
перемножьте L
n−1
L
n
, результат умножьте слева на L
n−2
и т. д.
5) Показать, что для любой квадратной матрицы A
det(P
ik
A) = det P
ik
det A = −det A.
6) Показать, что для любой квадратной матрицы A и элементар-
ной нижней треугольной матрицы L
k
:
det(L
k
A) = l
kk
det A. (7.3)
Решение. Пусть a = (a
1
, a
2
, . . . , a
n
) — вектор. Элементарные
вычисления дают
L
k
a =
a
1
a
2
.
.
.
a
k−1
l
k,k
a
k
l
k+1,k
a
k
+ a
k+1
l
k+2,k
a
k
+ a
k+2
.
.
.
l
n,k
a
k
+ a
n
.
Такой вид будут иметь столбцы матрицы L
k
A. Полученное равенство
показывает, что определитель det(L
k
A) можно преобразовать следу-
ющим образом: из k-ой строки вынести общий множитель l
kk
, затем
умножить эту строку на l
jk
и вычесть из j-ой строки последовательно
для всех j = k+1, k+2, . . . , n. В результате получим равенство (7.3).
7) Опираясь на предыдущие упражнения и правило вычисления
определителя треугольной матрицы (см. с. 70), показать, что для лю-
бой квадратной матрицы A и любой нижней треугольной матрицы L
det(LA) = det L det A. (7.4)
Показать, что если R — верхняя треугольная матрица, то
det(RA) = det R det A. (7.5)
§ 4. Алгебра матриц                                                       83


     3) Показать, что если L, M — нижние треугольные матрицы (раз-
мера n × n), то матрица LM — нижняя треугольная. Показать, что
аналогичное верно и для верхних треугольных матриц.
     4) Показать, что нижняя треугольная матрица L равна произ-
ведению элементарных нижних треугольных матриц Lk (см. (2.5)),
т. е. L = L1 L2 · · · Ln−1 Ln .
     Указание. Проведите вычисления в соответствии со следующей
расстановкой скобок: L = L1 (L2 · · · (Ln−2 (Ln−1 Ln ) . . . ), т. е. сначала
перемножьте Ln−1 Ln , результат умножьте слева на Ln−2 и т. д.
     5) Показать, что для любой квадратной матрицы A
                  det(Pik A) = det Pik det A = − det A.
   6) Показать, что для любой квадратной матрицы A и элементар-
ной нижней треугольной матрицы Lk :
                          det(Lk A) = lkk det A.                        (7.3)
   Решение. Пусть a = (a1 , a2 , . . . , an ) — вектор. Элементарные
вычисления дают
                                             
                                   a1
                                  a2         
                                    .        
                                    ..       
                                             
                                a            
                                  k−1        
                        
                 Lk a =        l k,k k a     .
                                              
                        lk+1,k ak + ak+1 
                                             
                        lk+2,k ak + ak+2 
                                   ..        
                                    .        
                            ln,k ak + an
Такой вид будут иметь столбцы матрицы Lk A. Полученное равенство
показывает, что определитель det(Lk A) можно преобразовать следу-
ющим образом: из k-ой строки вынести общий множитель lkk , затем
умножить эту строку на ljk и вычесть из j-ой строки последовательно
для всех j = k +1, k +2, . . . , n. В результате получим равенство (7.3).
    7) Опираясь на предыдущие упражнения и правило вычисления
определителя треугольной матрицы (см. с. 70), показать, что для лю-
бой квадратной матрицы A и любой нижней треугольной матрицы L
                         det(LA) = det L det A.                        (7.4)
    Показать, что если R — верхняя треугольная матрица, то
                         det(RA) = det R det A.                        (7.5)

Страницы