Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

82 Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители
Матрицы A, B называют перестановочными, если AB = BA.
Перестановочные матрицы существуют. Например,
µ
7 −12
−4 7
µ
26 45
15 26
=
µ
26 45
15 26
µ
7 −12
−4 7
=
µ
2 3
1 2
.
Для любой квадратной матрицы A
AI = IA = A.
Отметим следующие свойства операции умножения матриц:
1) (A + B)C = AC + BC,
2) C(A + B) = CA + CB,
3) A(BC) = (AB)C.
Понятно, что размеры участвующих здесь матриц должны быть
согласованы так, чтобы все операции имели смысл.
Элементарно проверяется, что 1), 2) следуют из (6.1), (5.1) соот-
ветственно. Для доказательства свойства 3) заметим, что элементы
матрицы D = A(BC) есть числа вида d
ij
= a
i
(Bc
j
), где a
i
— i-ая
строка матрицы A, c
j
— j-й столбец матрицы C. Элементы матри-
цы F = (AB)C — это числа f
ij
= (a
i
B)c
j
. Поэтому достаточно до-
казать, что x(By) = (xB)y для любой строки x и любого столбца y.
Понятно, что их длины должны быть согласованы с размерами мат-
рицы B. Будем полагать, что матрица B имеет n строк и m столбцов.
Элементарные вычисления дают
x(By) =
n
X
i=1
x
i
m
X
j=1
b
ij
y
j
=
n
X
i=1
m
X
j=1
b
ij
x
i
y
j
,
аналогично,
(xB)y =
m
X
j=1
y
j
n
X
i=1
b
ij
x
i
=
m
X
j=1
n
X
i=1
b
ij
x
i
y
j
.
Получившиеся суммы отличаются лишь порядком следования слага-
емых и потому совпадают.
Упражнения
1) Показать, что вектор P
ik
x получается из вектора x перстанов-
кой элементов с номерами i, k.
2) Как следствие показать, что матрица P
ik
A получается из мат-
рицы A перестановкой строк с номерами i, k.
82            Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители


   Матрицы A, B называют перестановочными, если AB = BA.
Перестановочные матрицы существуют. Например,
     µ         ¶µ      ¶ µ        ¶µ         ¶ µ    ¶
        7 −12    26 45      26 45     7 −12     2 3
                        =                     =       .
       −4    7   15 26      15 26    −4    7    1 2

Для любой квадратной матрицы A
                              AI = IA = A.
     Отметим следующие свойства операции умножения матриц:
     1) (A + B)C = AC + BC,
     2) C(A + B) = CA + CB,
     3) A(BC) = (AB)C.
    Понятно, что размеры участвующих здесь матриц должны быть
согласованы так, чтобы все операции имели смысл.
    Элементарно проверяется, что 1), 2) следуют из (6.1), (5.1) соот-
ветственно. Для доказательства свойства 3) заметим, что элементы
матрицы D = A(BC) есть числа вида dij = ai (Bcj ), где ai — i-ая
строка матрицы A, cj — j-й столбец матрицы C. Элементы матри-
цы F = (AB)C — это числа fij = (ai B)cj . Поэтому достаточно до-
казать, что x(By) = (xB)y для любой строки x и любого столбца y.
Понятно, что их длины должны быть согласованы с размерами мат-
рицы B. Будем полагать, что матрица B имеет n строк и m столбцов.
Элементарные вычисления дают
                        n
                        X          m
                                   X                n X
                                                    X m
              x(By) =         xi         bij yj =             bij xi yj ,
                        i=1        j=1              i=1 j=1

аналогично,
                        m
                        X          n
                                   X                m X
                                                    X n
              (xB)y =         yj         bij xi =             bij xi yj .
                        j=1        i=1              j=1 i=1

Получившиеся суммы отличаются лишь порядком следования слага-
емых и потому совпадают.
   Упражнения
   1) Показать, что вектор Pik x получается из вектора x перстанов-
кой элементов с номерами i, k.
   2) Как следствие показать, что матрица Pik A получается из мат-
рицы A перестановкой строк с номерами i, k.

Страницы