Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 4. Алгебра матриц 81
где A — заданная квадратная матрица, b — заданный вектор, x —
искомый вектор, или в виде
xA = b, (6.3)
где b — заданная строка, x — искомая строка. В дальнейшем мы чаще
будем пользоваться формой записи (6.2).
7. Умножение прямоугольных матриц. Пусть A — матрица раз-
мера n × m, B — матрица размера m × p. Матрица C размера n × p
называется произведением матриц A, B, если ее элементы опреде-
ляются по правилу
c
ij
=
m
X
q=1
a
iq
b
qj
, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , p. (7.1)
Пишут C = AB, или, более подробно,
c
11
c
12
. . . c
1p
c
21
c
22
. . . c
2p
. . . . . . . . . . . . . . . .
c
n1
c
n2
. . . c
np
=
=
a
11
a
12
. . . a
1m
a
21
a
22
. . . a
2m
. . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . a
nm
b
11
b
12
. . . b
1p
b
21
b
22
. . . b
2p
. . . . . . . . . . . . . . . . .
b
m1
b
m2
. . . b
mp
. (7.2)
Полезно пояснить, что элементы каждого столбца матрицы C вы-
числяются как результат умножения матрицы A на соответствующий
столбец матрицы B. Точно так же элементы каждой строки матри-
цы C получаются как результат умножения соответствующей строки
матрицы A на матрицу B. Отметим также, что элемент c
ij
есть ре-
зультат умножения i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B.
Пример.
µ
5 −1 3 1
2 0 −1 4
−1 3 0
−2 1 1
3 0 −2
4 1 2
=
µ
10 15 −5
11 10 10
.
Произведение матриц зависит от прядка сомножителей. Напри-
мер,
µ
1 2
3 2
µ
1 2
1 1
=
µ
3 4
5 8
,
µ
1 2
1 1
µ
1 2
3 2
=
µ
7 6
4 4
.
§ 4. Алгебра матриц                                                             81


где A — заданная квадратная матрица, b — заданный вектор, x —
искомый вектор, или в виде
                                        xA = b,                               (6.3)
где b — заданная строка, x — искомая строка. В дальнейшем мы чаще
будем пользоваться формой записи (6.2).
   7. Умножение прямоугольных матриц. Пусть A — матрица раз-
мера n × m, B — матрица размера m × p. Матрица C размера n × p
называется произведением матриц A, B, если ее элементы опреде-
ляются по правилу
                      m
                      X
              cij =         aiq bqj ,   i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , p.   (7.1)
                      q=1

Пишут C = AB, или, более подробно,
                    
   c11 c12 . . . c1p
  c21 c22 . . . c2p 
  ................  =
   cn1 cn2 . . . cnp

                                                       
                   a11 a12 . . . a1m    b11 b12 . . . b1p
                  a a . . . a2m   b21 b22 . . . b2p 
               =  21 22                                    . (7.2)
                   .................  ................. 
                   an1 an2 . . . anm    bm1 bm2 . . . bmp
    Полезно пояснить, что элементы каждого столбца матрицы C вы-
числяются как результат умножения матрицы A на соответствующий
столбец матрицы B. Точно так же элементы каждой строки матри-
цы C получаются как результат умножения соответствующей строки
матрицы A на матрицу B. Отметим также, что элемент cij есть ре-
зультат умножения i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B.
    Пример.                                     
                µ         ¶ −1              3  0     µ         ¶
                 5 −1  3 1 −2              1  1     10 15 −5
                                                   =             .
                 2  0 −1 4  3              0 −2     11 10 10
                             4              1  2

   Произведение матриц зависит от прядка сомножителей. Напри-
мер,
      µ    ¶µ     ¶ µ      ¶    µ     ¶µ    ¶ µ     ¶
       1 2    1 2      3 4        1 2   1 2     7 6
                    =        ,               =        .
       3 2    1 1      5 8        1 1   3 2     4 4

Страницы