Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 4. Алгебра матриц 79
3) A + B = B + A,
4) (α + β)A = αA + βA.
Отметим, что сумма двух нижних (верхних) треугольных мат-
риц — нижняя (верхняя) треугольная матрица.
4. Умножение строки на столбец. По определению произведение
строки x и столбца y одинаковой длины n есть число:
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
y
1
y
2
.
.
.
y
n
=
n
X
k=1
x
k
y
k
. (4.1)
Пример.
¡
5 −1 3 1
¢
−1
−2
3
4
= 5 ·(−1) + (−1) · (−2) + 3 · 3 + 1 · 4 = 10.
5. Умножение матрицы на вектор. Произведением матрицы A
размера n ×m и вектора x длины m называется вектор y длины n с
элементами
y
i
=
m
X
j=1
a
ij
x
j
, i = 1, . . . , n.
Символически это записывают так:
y = Ax.
Иногда будем применять более подробную запись:
y
1
y
2
.
.
.
y
n
=
a
11
a
12
. . . a
1m
a
21
a
22
. . . a
2m
. . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . a
nm
x
1
x
2
.
.
.
x
m
.
Поясним, что умножение матрицы на вектор выполняется следу-
ющим образом: столбец x последовательно накладывается на строки
матрицы A, соответствующие элементы попарно перемножаются а за-
тем полученные m величин суммируются. В результате получаются
элементы вектора y.
Пример.
0 −3 1
2 1 5
−4 0 −2
3
−2
2
=
8
14
−16
.
§ 4. Алгебра матриц                                                        79


    3) A + B = B + A,
    4) (α + β)A = αA + βA.
   Отметим, что сумма двух нижних (верхних) треугольных мат-
риц — нижняя (верхняя) треугольная матрица.
   4. Умножение строки на столбец. По определению произведение
строки x и столбца y одинаковой длины n есть число:
                                         
                                          y1
                                                   n
                                         y2  X
                (x1 , x2 , . . . , xn )      
                                         ...  =     xk yk . (4.1)
                                                  k=1
                                          yn

    Пример.
                          
                        −1
           ¡         ¢ −2
             5 −1 3 1   = 5 · (−1) + (−1) · (−2) + 3 · 3 + 1 · 4 = 10.
                         3
                         4

   5. Умножение матрицы на вектор. Произведением матрицы A
размера n × m и вектора x длины m называется вектор y длины n с
элементами              m
                        X
                   yi =   aij xj , i = 1, . . . , n.
                               j=1

Символически это записывают так:
                                     y = Ax.
Иногда будем применять более подробную запись:
                                                       x 
               y1       a11 a12 . . . a1m                        1
              y2   a21 a22 . . . a2m   x2 
             .=                                           .
              ..      . . . . . . . . . . . . . . . . .   ... 
               yn       an1 an2 . . . anm                    xm
   Поясним, что умножение матрицы на вектор выполняется следу-
ющим образом: столбец x последовательно накладывается на строки
матрицы A, соответствующие элементы попарно перемножаются а за-
тем полученные m величин суммируются. В результате получаются
элементы вектора y.
    Пример.                                
                           0 −3  1    3       8
                          2  1  5 −2 =  14 .
                          −4  0 −2    2     −16

Страницы