Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

78 Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители
Напомним, что квадратная матрица L называется нижней тре-
угольной, если все ее элементы, стоящие выше главной диагонали,
равны нулю
L =
l
11
0 . . . 0
l
21
l
22
. . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
l
n1
l
n2
. . . l
nn
, (2.3)
а квадратная матрица U называется верхней треугольной, если все
ее элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю
U =
u
11
u
12
. . . u
1n
0 u
22
. . . u
2n
. . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . u
nn
. (2.4)
Квадратная матрица
L
k
=
1 ··· 0 0 ··· 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 ··· l
k,k
0 ··· 0
0 ··· l
k+1,k
1 ··· 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 ··· l
n,k
0 ··· 1
(2.5)
называется элементарной нижней треугольной. Поясним, что эта
матрица отличается от единичной матрицы лишь элементами k-го
столбца.
3. Умножение матрицы на число, сложение матриц. Произведе-
нием матрицы A и числа α называется матрица
αA =
αa
11
αa
12
. . . αa
1m
αa
21
αa
22
. . . αa
2m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
αa
n1
αa
n2
. . . αa
nm
(все элементы матрицы A умножаются на число α).
Суммой двух матриц A, B одинаковых размеров называется мат-
рица C того же размера с элементами c
ij
= a
ij
+b
ij
. Пишут C = A+B.
Упражнение. Убедиться, что введенные операции обладают
следующим свойствами:
1) A + 0 = A,
2) (A + B) + C = A + (B + C),
78           Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители


    Напомним, что квадратная матрица L называется нижней тре-
угольной, если все ее элементы, стоящие выше главной диагонали,
равны нулю                                  
                           l11 0 . . . 0
                          l l ... 0 
                     L =  21 22               ,           (2.3)
                           ............... 
                           ln1 ln2 . . . lnn
а квадратная матрица U называется верхней треугольной, если все
ее элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю
                                           
                          u11 u12 . . . u1n
                        0 u22 . . . u2n 
                   U =                       .            (2.4)
                          ................ 
                           0 0 . . . unn
     Квадратная матрица
                                                                   
                         1 ···            0        0 ··· 0
                       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
                                                                   
                       0 · · · lk,k 0 · · · 0
                  Lk =                                                (2.5)
                       0 · · · lk+1,k 1 · · · 0
                       . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
                         0 · · · ln,k 0 · · · 1
называется элементарной нижней треугольной. Поясним, что эта
матрица отличается от единичной матрицы лишь элементами k-го
столбца.
   3. Умножение матрицы на число, сложение матриц. Произведе-
нием матрицы A и числа α называется матрица
                                            
                       αa11 αa12 . . . αa1m
                     αa21 αa22 . . . αa2m 
              αA = 
                       ..................... 
                       αan1 αan2 . . . αanm
(все элементы матрицы A умножаются на число α).
    Суммой двух матриц A, B одинаковых размеров называется мат-
рица C того же размера с элементами cij = aij +bij . Пишут C = A+B.
   Упражнение. Убедиться, что введенные операции обладают
следующим свойствами:
   1) A + 0 = A,
   2) (A + B) + C = A + (B + C),

Страницы