Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

76 Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители
где Φ
j
— полином степени n, удовлетворяющий условиям
Φ
j
(z
k
) = 0, k = 0, 1, . . . , j − 1, j + 1, . . . , n, (2.3)
Φ
j
(z
j
) = 1, (2.4)
для j = 0, 1, 2 . . . , n.
Как показано, в п. 5, с. 17, полином своими корнями определяется
с точностью до постоянного множителя, т. е.
Φ
j
(z) = A
j
(z − z
0
)(z − z
1
) ···(z − z
j−1
)(z − z
j+1
) ···(z − z
n
).
Используя (2.4), найдем значение постоянной:
A
j
=
1
(z
j
− z
0
)(z
j
− z
1
) ···(z
j
− z
j−1
)(z
j
− z
j+1
) ···(z
j
− z
n
)
,
т. е.
Φ
j
(z) =
(z − z
0
)(z − z
1
) ···(z − z
j−1
)(z − z
j+1
) ···(z − z
n
)
(z
j
− z
0
)(z
j
− z
1
) ···(z
j
− z
j−1
)(z
j
− z
j+1
) ···(z
j
− z
n
)
,
где j = 0, 1, 2, . . . , n.
§ 4. Алгебра матриц
1. Выше было введено понятие квадратной матрицы. Прямо-
угольной матрицей A размера n ×m называется таблица, состоящая
из n строк и m столбцов:
A =
a
11
a
12
. . . a
1m
a
21
a
22
. . . a
2m
. . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . a
nm
. (1.1)
Элементами таблицы служат числа a
ij
(вообще говоря, комплексные).
Иногда будем явно указывать размеры матрицы A и обозначать ее
через A(n, m).
Отметим некоторые частные случаи. При n = m получаем квад-
ратную матрицу. Ее размер (говорят также порядок) будем обозна-
чать одной буквой n.
Если n = 1, а m произвольно получаем матрицу-строку (или,
просто, строку)
x = (x
1
, x
2
, . . . , x
m
). (1.2)
Говорят, что эта строка имеет длину m.
76                  Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители


где Φj — полином степени n, удовлетворяющий условиям
                 Φj (zk ) = 0,     k = 0, 1, . . . , j − 1, j + 1, . . . , n,            (2.3)
                                        Φj (zj ) = 1,                                    (2.4)
для j = 0, 1, 2 . . . , n.
    Как показано, в п. 5, с. 17, полином своими корнями определяется
с точностью до постоянного множителя, т. е.
        Φj (z) = Aj (z − z0 )(z − z1 ) · · · (z − zj−1 )(z − zj+1 ) · · · (z − zn ).
Используя (2.4), найдем значение постоянной:
                                                 1
        Aj =                                                                         ,
                (zj − z0 )(zj − z1 ) · · · (zj − zj−1 )(zj − zj+1 ) · · · (zj − zn )
т. е.
                   (z − z0 )(z − z1 ) · · · (z − zj−1 )(z − zj+1 ) · · · (z − zn )
     Φj (z) =                                                                         ,
                 (zj − z0 )(zj − z1 ) · · · (zj − zj−1 )(zj − zj+1 ) · · · (zj − zn )
где j = 0, 1, 2, . . . , n.

                               § 4. Алгебра матриц

    1. Выше было введено понятие квадратной матрицы. Прямо-
угольной матрицей A размера n × m называется таблица, состоящая
из n строк и m столбцов:
                                           
                          a11 a12 . . . a1m
                         a a . . . a2m 
                   A =  21 22                .             (1.1)
                          ................. 
                          an1 an2 . . . anm
Элементами таблицы служат числа aij (вообще говоря, комплексные).
Иногда будем явно указывать размеры матрицы A и обозначать ее
через A(n, m).
   Отметим некоторые частные случаи. При n = m получаем квад-
ратную матрицу. Ее размер (говорят также порядок ) будем обозна-
чать одной буквой n.
   Если n = 1, а m произвольно получаем матрицу-строку (или,
просто, строку)
                      x = (x1 , x2 , . . . , xm ).           (1.2)
Говорят, что эта строка имеет длину m.

Страницы