Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 76 стр.

§ 3. Крамеровские системы линейных уравнений                                                     75

        ¯             ¯ ¯                 ¯
        ¯−2 1   1    0¯ ¯−2     1 1      0¯ ¯¯                  ¯ ¯                     ¯
        ¯             ¯ ¯                 ¯ ¯−4       3 −2¯¯ ¯¯−4 −1 −6¯¯
        ¯−4 3   0 −2¯ ¯−4       3 0 −2¯
  ∆1   =¯
          −1 0  1 −1  ¯ = ¯ 1 −1 0 −1¯ = ¯¯ 1 −1 −1¯¯ = ¯¯ 1                   0      0¯¯ = 4,
        ¯             ¯ ¯                 ¯ ¯−5       3 −3      ¯   ¯ −5 −2 −8¯
        ¯−3 2 −1 −3¯ ¯−5        3 0 −3¯
        ¯             ¯ ¯               ¯
        ¯1 −2   1    0¯ ¯1 −2 1        0¯ ¯¯              ¯ ¯                   ¯
        ¯             ¯ ¯               ¯ ¯1 −4 −2¯¯ ¯¯1 −5 −1¯¯
        ¯1 −4   0 −2¯ ¯1 −4 0 −2¯ ¯
  ∆2   =¯               =                 = 1      1 −1¯¯ = ¯¯1         0     0¯¯ = −4,
        ¯2 −1   1 −1¯¯ ¯¯1     1 0 −1¯¯ ¯¯
        ¯0 −3 −1 −3¯ ¯1 −5 0 −3¯              1 −5 −3¯ ¯1 −6 −2¯
        ¯           ¯ ¯                 ¯
        ¯1 1 −2   0 ¯ ¯1     0   0     0¯ ¯¯                ¯ ¯                      ¯
        ¯           ¯ ¯                 ¯ ¯ 2 −2 −2¯¯ ¯¯ 2                 0       0¯¯
        ¯1 3 −4 −2¯ ¯1       2 −2 −2¯ ¯
  ∆3   =¯           ¯=¯                   = −2      3 −1¯¯ = ¯¯−2          1 −3¯¯ = −8,
        ¯2 0 −1 −1¯ ¯2 −2        3 −1¯¯ ¯¯                  ¯     ¯
        ¯0 2 −3 −3¯ ¯0                         2   −3    −3           2   −1     −1¯
                             2 −3 −3¯
        ¯           ¯ ¯               ¯
        ¯1 1   1 −2¯ ¯1      1 1 −2¯ ¯¯                 ¯ ¯                  ¯
        ¯           ¯ ¯               ¯ ¯1       3 −4¯¯ ¯¯1          3 −4¯¯
        ¯1 3   0 −4¯ ¯1      3 0 −4¯ ¯
  ∆4   =¯             =                 = 1 −1        1¯¯ = ¯¯0 −4         5¯¯ = 4.
        ¯2 0   1 −1¯¯ ¯¯1 −1 0      1¯¯ ¯¯              ¯    ¯               ¯
        ¯0 2 −1 −3¯ ¯1                      1    3  −5         0     0    −1
                             3 0 −5¯

По формулам Крамера

       x1 = ∆1 /∆ = 1,     x2 = ∆2 /∆ = −1,       x3 = ∆3 /∆ = −2,      x4 = ∆4 /∆ = 1.

   Замечание. На практике формулы Крамера используются
очень редко. Чаще всего для решения систем линейных алгебраиче-
ских уравнений применяются различные варианты метода исключе-
ния неизвестных (метода Гаусса). Подробнее по этому поводу см. с. 89.
   2. В качестве примера применения теории крамеровских систем
построим так называемую интерполяционную формулу Лагранжа.
    2.1. Теорема. Пусть z0 , z1 , . . . , zn — попарно различные чис-
ла, h0 , h1 , · · · , hn — произвольные числа. Тогда существует и при
том только один полином Pn (z) такой, что
                            Pn (zj ) = hj , j = 0, 1, . . . , n.                           (2.1)
 Доказательство. Условия (2.1) представляют собой систему ли-
нейных уравнений относительно коэффициентов полинома Pn . Опре-
делитель этой системы — определитель Вандермонда. Он, очевидно,
не равен нулю, поэтому система уравнений (2.1) имеет единственное
решение при любой правой части. ¤
   Теперь ясно, что, если полином всюду (по крайней мере в n + 1
различных точках) равен нулю, то все его коэффициенты — нули.
   Нетрудно построить в явном виде полином, удовлетворяющий
условиям (2.1), а именно, решение задачи дает интерполяционная
формула Лагранжа
       Pn (z) = Pn (z0 )Φ0 (z) + Pn (z1 )Φ1 (z) + · · · + Pn (zn )Φn (z),                  (2.2)