Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 75 стр.

74               Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители


где коэффициенты cij , i, j = 1, 2, . . . , n, подлежат определению. Под-
ставляя выражения (1.6) в уравнения системы (1.1) и собирая в левых
частях коэффициенты при одинаковых bi , получим
 b1 (ai1 c11 + ai2 c21 + · · · + ain cn1 )+
                    + b2 (ai1 c12 + ai2 c22 + · · · + ain cn2 ) + · · ·
                  · · · + bi (ai1 c1i + ai2 c2i + · · · + ain cni ) + · · ·
                            · · · + bn (ai1 c1n + ai2 c2n + · · · + ain cnn ) = bi , (1.7)
где i = 1, 2, . . . , n. Понятно, что если выбрать коэффициенты cij
так, чтобы выполнялись условия
                      ai1 c1k + ai2 c2k + · · · + ain cnk = δik ,                    (1.8)
где i, k = 1, 2, . . . , n, δik — символ Кронекера, то формулы (1.6)
будут давать решение системы (1.1). Сравнивая соотношения (1.8) с
формулами (2.1), с. 67, нетрудно заметить, что если положить
                                 Aki
                         cik =       ,    i, k = 1, 2, . . . , n,                    (1.9)
                                 |A|
то условия (1.8) будут выполнены. Подставляя найденные выраже-
ния для cik в (1.6), получим следующие формулы для решения систе-
мы (1.1):
     xi = (A1i b1 + A2i b2 + · · · + Ani bn )/|A|,           i = 1, 2, . . . , n.   (1.10)
Используя разложение определителя по столбцу, соотношения (1.10)
можно переписать в более компактном виде:
                         ∆i
                           xi =
                            , i = 1, 2, . . . , n.         (1.11)
                          ∆
Здесь ∆ = |A|, ∆i — определитель, который получается заменой i-го
столбца определителя |A| правой частью системы (1.1). ¤
   Формулы (1.11) называют формулами Крамера.
     Пример. Решим при помощи формул Крамера систему уравнений
                                    x1 + x 2 + x 3   = −2,
                                  x1 + 3x2 − 2x4     = −4,
                                   2x1 + x3 − x4     = −1,
                                  2x2 − x3 − 3x4     = −3.
Подсчитаем соответствующие определители:
     ¯              ¯ ¯            ¯
     ¯1 1    1    0 ¯ ¯1  1 1     0¯ ¯¯        ¯ ¯         ¯
     ¯              ¯ ¯            ¯ ¯1   3 −2¯¯ ¯¯1 4 −1¯¯     ¯
                                                                ¯4 −1¯
                                                                      ¯
     ¯1 3    0 −2¯ ¯1     3 0 −2¯ ¯            ¯  ¯        ¯    ¯     ¯ = 4,
 ∆=¯                 =               = 1 −1 −1¯ = ¯1 0   0¯ = − ¯
     ¯2 0    1 −1¯¯ ¯¯1 −1 0 −1¯¯ ¯¯           ¯  ¯        ¯      4 −2¯
     ¯0 2 −1 −3¯ ¯1                     1 3 −3      1 4 −2
                          3 0 −3¯