Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

72 Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители
где последний множитель — определитель Вандермонда (n − 1)-го
порядка. Следовательно,
d = (a
2
− a
1
) (a
3
− a
1
) . . . (a
n
− a
1
)
Y
26j<i6n
(a
i
− a
j
) =
Y
16j<i6n
(a
i
− a
j
).
§ 3. Крамеровские системы линейных уравнений
1. В этом параграфе будем рассматривать системы линейных
уравнений, у которых количество неизвестных равно числу уравне-
ний. В самом общем виде эта система может быть записана так:
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ··· + a
1n
x
n
= b
1
,
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ ··· + a
2n
x
n
= b
2
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ ··· + a
nn
x
n
= b
n
.
(1.1)
Матрица
A =
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
. . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . a
nn
, (1.2)
составленная из коэффициентов уравнений называется матрицей си-
стемы (1.1). Будем предполагать, что |A| 6= 0. В этом случае систе-
му уравнений (1.1) называют крамеровской. Набор чисел b
1
, b
2
, . . . , b
n
называют столбцом правой части (или просто правой частью) си-
стемы (1.1). Если правая часть системы нулевая, т. е. b
i
= 0 для
всех i = 1, 2, . . . , n, то система называется однородной. Однород-
ная система уравнений всегда имеет решение. Например, можно по-
ложить x
1
, x
2
, . . . , x
n
= 0. Такое решение называют тривиальным.
1.1. Теорема. Однородная крамеровская система уравнений
может иметь только тривиальное решение.
Доказательство. Предположим противное. Тогда для некото-
рого набора чисел x
1
, x
2
, . . . , x
n
, среди которых по крайней мере одно
не равно нулю, справедливы равенства
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1n
x
n
= 0,
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ . . . + a
2n
x
n
= 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ . . . + a
nn
x
n
= 0.
(1.3)
72             Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители


где последний множитель — определитель Вандермонда (n − 1)-го
порядка. Следовательно,
                                           Y              Y
d = (a2 − a1 ) (a3 − a1 ) . . . (an − a1 )   (ai − aj ) =   (ai − aj ).
                                      26j

Страницы