Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Определители 71
Покажем, что при любом n > 2 определитель Вандермонда равен
произведению всевозможных разностей a
i
− a
j
, где 1 6 j < i 6 n:
d =
Y
16j<i6n
(a
i
− a
j
).
Доказываемая формула очевидно справедлива при n = 2. Вос-
пользуемся методом математической индукции. Предположим, что
для определителей (n − 1)-го порядка формула уже доказана, т. е.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 . . . 1
a
2
a
3
. . . a
n
. . . . . . . . . . . .
a
n−2
2
a
n−2
3
. . . a
n−2
n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
Y
26j<i6n
(a
i
− a
j
).
Рассмотрим определитель d. Умножим предпоследнюю строку
на a
1
и вычтем из последней. Затем вычтем из (n−1)-й строки строку
с номером (n −2), умноженную на a
1
и так далее. Наконец, умножим
первую строку на a
1
и вычтем из второй. В результате такой после-
довательности преобразований получим
d =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 1 . . . 1
0
0
. . .
0
a
2
− a
1
a
3
− a
1
. . . a
n
− a
1
a
2
2
− a
1
a
2
a
2
3
− a
1
a
3
. . . a
2
n
− a
1
a
n
. . . . . . . . . . . .
a
n−1
2
− a
1
a
n−2
2
a
n−1
3
− a
1
a
n−2
3
. . . a
n−1
n
− a
1
a
n−2
n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Разлагая определитель d по первому столбцу, получим определи-
тель (n − 1)-го порядка:
d =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
2
− a
1
a
3
− a
1
. . . a
n
− a
1
a
2
2
− a
1
a
2
a
2
3
− a
1
a
3
. . . a
2
n
− a
1
a
n
. . . . . . . . . . . .
a
n−1
2
− a
1
a
n−2
2
a
n−1
3
− a
1
a
n−2
3
. . . a
n−1
n
− a
1
a
n−2
n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Заметим, что общим множителем всех элементов первого столбца яв-
ляется a
2
− a
1
, общим множителем всех элементов второго столбца
является a
3
− a
1
и т. д. Поэтому
d = (a
2
− a
1
) (a
3
− a
1
) . . . (a
n
− a
1
)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 . . . 1
a
2
a
3
. . . a
n
. . . . . . . . . . . .
a
n−2
2
a
n−2
3
. . . a
n−2
n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
,
§ 2. Определители                                                           71


Покажем, что при любом n > 2 определитель Вандермонда равен
произведению всевозможных разностей ai − aj , где 1 6 j < i 6 n:
                           Y
                      d=       (ai − aj ).
                                16j

Страницы