Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

70 Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители
где j = 1, 2, . . . , n; d
k
6= 0, т. е. строки матрицы A линейно зависимы.
3. Приведем примеры вычисления определителей, часто возни-
кающих в различных разделах алгебры.
3.1. Определитель треугольной матрицы. Матрицу A называют
верхней треугольной, если a
ij
= 0 при i > j. Матрицу A называ-
ют нижней треугольной, если a
ij
= 0 при i < j. Если матрица A
треугольная, то
|A| = a
11
a
22
···a
nn
. (3.1)
Докажем это утверждение применительно к верхней треугольной
матрице. Доказательство формулы (3.1) для нижней треугольной
матрицы A сразу вытекает из того, что |A| = |A
T
| и A
T
— верхняя
треугольная матрица.
Для матриц первого и второго порядков утверждение, очевид-
но, справедливо. Для доказательства формулы при произвольном n
используем метод математической индукции, т. е. предположим, что
для определителей (n−1)-го порядка она уже доказана, и рассмотрим
определитель
|A| =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
0
0
. . .
0
a
12
a
22
0
. . .
0
a
13
a
23
a
33
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a
1n
a
2n
a
3n
. . .
a
nn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Разлагая определитель |A| по первому столбцу, получим:
|A| = a
11
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
22
0
. . .
0
a
23
a
33
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
a
2n
a
3n
. . .
a
nn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
К минору, стоящему в правой части, применимо предположение ин-
дукции, т. е. он равен произведению a
22
a
33
. . . a
nn
, поэтому
|A| = a
11
a
22
a
33
. . . a
nn
.
3.2. Определитель Вандермонда. Так называют определитель
вида
d =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 1 . . . 1
a
1
a
2
1
. . .
a
n−1
1
a
2
a
3
. . . a
n
a
2
2
a
2
3
. . . a
2
n
. . . . . . . . . . . .
a
n−1
2
a
n−1
3
. . . a
n−1
n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
70             Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители


где j = 1, 2, . . . , n; dk 6= 0, т. е. строки матрицы A линейно зависимы.

   3. Приведем примеры вычисления определителей, часто возни-
кающих в различных разделах алгебры.
    3.1. Определитель треугольной матрицы. Матрицу A называют
верхней треугольной, если aij = 0 при i > j. Матрицу A называ-
ют нижней треугольной, если aij = 0 при i < j. Если матрица A
треугольная, то
                       |A| = a11 a22 · · · ann .              (3.1)
Докажем это утверждение применительно к верхней треугольной
матрице. Доказательство формулы (3.1) для нижней треугольной
матрицы A сразу вытекает из того, что |A| = |AT | и AT — верхняя
треугольная матрица.
    Для матриц первого и второго порядков утверждение, очевид-
но, справедливо. Для доказательства формулы при произвольном n
используем метод математической индукции, т. е. предположим, что
для определителей (n−1)-го порядка она уже доказана, и рассмотрим
определитель
                ¯                                          ¯
                ¯ a11     a12       a13         ... a1n ¯
                ¯                                          ¯
                ¯   0     a22       a23         ... a2n ¯
                ¯                                          ¯
          |A| = ¯   0      0        a33         ... a3n ¯ .
                ¯ ...     ...       ...         ... . . . ¯¯
                ¯
                ¯   0      0         0          ... ann ¯
     Разлагая определитель |A| по первому столбцу, получим:
                        ¯                             ¯
                        ¯ a22    a23    ...    a2n ¯
                        ¯                             ¯
                        ¯ 0      a33    ...    a3n ¯
              |A| = a11 ¯                               .
                        ¯ ...    ...    ...    . . . ¯¯
                        ¯ 0       0     ...    ann ¯
К минору, стоящему в правой части, применимо предположение ин-
дукции, т. е. он равен произведению a22 a33 . . . ann , поэтому
                         |A| = a11 a22 a33 . . . ann .
   3.2.   Определитель Вандермонда. Так называют определитель
вида                ¯                                        ¯
                    ¯ 1         1        1     ...     1     ¯
                    ¯                                        ¯
                    ¯ a1          a2      a3 . . . a n       ¯
                    ¯                                        ¯
                d = ¯ a21         a22     a23 . . . a2n      ¯.
                    ¯ ...         ...     ... ... ...        ¯
                    ¯                                        ¯
                    ¯ an−1       a2n−1   a3n−1 . . . ann−1   ¯
                       1

Страницы