Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

68 Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители
Вычислим определитель третьего порядка, разложив его по третьей строке:
∆ = 36
¯
¯
¯
¯
25 17
−34 −26
¯
¯
¯
¯
− (−33)
¯
¯
¯
¯
−13 17
26 −26
¯
¯
¯
¯
+ (−24)
¯
¯
¯
¯
−13 25
26 −34
¯
¯
¯
¯
=
= 36(−72) − (−33)(−104) + (−24)(−208) = −1032.
7) Матрица
A
T
=
a
11
a
21
. . . a
n1
a
12
a
22
. . . a
n2
. . . . . . . . . . . . . . . .
a
1n
a
2n
. . . a
nn
(2.3)
называется матрицей, транспонированной по отношению к А. По-
ясним, что матрицы A и A
T
состоят из одних и тех же элементов.
Первая строка матрицы A
T
составлена из элементов первого столбца
матрицы A и т. д. Определители матриц A и A
T
совпадают.
Докажем это утверждение индукцией по порядку определителя.
Для определителя второго порядка равенство |A| = |A
T
| выполня-
ется очевидным образом. Предположим справедливость этого равен-
ства для произвольного определителя порядка n − 1 и покажем, что
тогда оно верно и для произвольного определителя порядка n. Пред-
ставим |A| в виде разложения по первой строке:
|A| = a
11
M
11
− a
12
M
12
+ ··· + (−1)
n+1
a
1n
M
1n
. (2.4)
Определитель |A
T
| разложим по первому столбцу:
|A
T
| = a
11
M
T
11
− a
12
M
T
21
+ ··· + (−1)
n+1
a
1n
M
T
n1
. (2.5)
Здесь M
T
ij
— минор определителя |A
T
|, соответствующий элементу
этого определителя, находящегося в позиции i, j. По предположению
индукции имеем, что M
T
ij
= M
ji
, следовательно, |A
T
| = |A|.
8) Будем говорить, что строки матрицы A линейно зависимы,
если существуют числа α
1
, α
2
, . . . , α
n
, не все одновременно равные
нулю и такие, что
α
1
a
1j
+ α
2
a
2j
+ ··· + α
n
a
nj
= 0, j = 1, 2, . . . , n.
Для того, чтобы определитель матрицы A был равен нулю, необ-
ходимо и достаточно, чтобы ее строки были линейно зависимы.
То, что из линейной зависимости строк вытекает равенство нулю
определителя доказывается точно так же, как и для определителя
третьего порядка.
68              Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители


Вычислим определитель третьего порядка, разложив его по третьей строке:
         ¯         ¯         ¯        ¯         ¯        ¯
         ¯ 25   17 ¯         ¯−13  17 ¯         ¯−13  25 ¯
 ∆ = 36 ¯¯         ¯ − (−33) ¯
                   ¯         ¯
                                      ¯ + (−24) ¯
                                      ¯         ¯
                                                         ¯=
           −34 −26             26 −26             26 −34¯
                                = 36(−72) − (−33)(−104) + (−24)(−208) = −1032.


     7) Матрица
                                                
                               a11 a21 . . . an1
                              a a . . . an2 
                        AT =  12 22                                      (2.3)
                               ................ 
                               a1n a2n . . . ann
называется матрицей, транспонированной по отношению к А. По-
ясним, что матрицы A и AT состоят из одних и тех же элементов.
Первая строка матрицы AT составлена из элементов первого столбца
матрицы A и т. д. Определители матриц A и AT совпадают.
    Докажем это утверждение индукцией по порядку определителя.
Для определителя второго порядка равенство |A| = |AT | выполня-
ется очевидным образом. Предположим справедливость этого равен-
ства для произвольного определителя порядка n − 1 и покажем, что
тогда оно верно и для произвольного определителя порядка n. Пред-
ставим |A| в виде разложения по первой строке:
             |A| = a11 M11 − a12 M12 + · · · + (−1)n+1 a1n M1n .          (2.4)
Определитель |AT | разложим по первому столбцу:

             |AT | = a11 M11
                          T         T
                             − a12 M21 + · · · + (−1)n+1 a1n Mn1
                                                              T
                                                                 .        (2.5)
Здесь MijT — минор определителя |AT |, соответствующий элементу
этого определителя, находящегося в позиции i, j. По предположению
индукции имеем, что MijT = Mji , следовательно, |AT | = |A|.
    8) Будем говорить, что строки матрицы A линейно зависимы,
если существуют числа α1 , α2 , . . . , αn , не все одновременно равные
нулю и такие, что
           α1 a1j + α2 a2j + · · · + αn anj = 0,   j = 1, 2, . . . , n.
   Для того, чтобы определитель матрицы A был равен нулю, необ-
ходимо и достаточно, чтобы ее строки были линейно зависимы.
   То, что из линейной зависимости строк вытекает равенство нулю
определителя доказывается точно так же, как и для определителя
третьего порядка.

Страницы