Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 68 стр.

§ 2. Определители                                                               67


   6) Введенные ранее понятия алгебраических дополнений и ми-
норов дословно переносятся на случай определителей произвольного
порядка. Без каких либо изменений проходит и доказательство фор-
мулы, аналогичной формуле (4.11), с. 34. При этом нужно использо-
вать равенство (1.4). Таким образом, для любого определителя |A|
   ai1 Ak1 + ai2 Ak2 + · · · + ain Akn = |A|δik ,   i, k = 1, 2, . . . , n,   (2.1)
где δik — символ Кронекера.
    Справедлива и формула разложения определителя по столбцу:
   a1i A1k + a2i A2k + · · · + ani Ank = |A|δik ,   i, k = 1, 2, . . . , n,   (2.2)

    Пример. Вычислим определитель пятого порядка
                            ¯                     ¯
                            ¯−2    5   0 −1     3¯
                            ¯                     ¯
                            ¯ 1    0   3    7 −2¯
                            ¯                     ¯
                        ∆ = ¯ 3 −1     0    5 −5¯ .
                            ¯ 2    6 −4     1   2¯¯
                            ¯
                            ¯ 0 −3 −1       2   3¯

Сначала добьемся того, чтобы все элементы третьего столбца, кроме последнего, были
нулями. Для этого умножим последнюю строку на три и прибавим ко второй, а затем
умножим последнюю строку на четыре вычтем из четвертой строки. Получим:
                               ¯                      ¯
                               ¯−2    5   0 −1       3¯
                               ¯                      ¯
                               ¯ 1 −9     0 13       7¯
                               ¯                      ¯
                          ∆ = ¯ 3 −1      0   5    − 5¯ .
                               ¯ 2 18     0 −7 −10 ¯¯
                               ¯
                               ¯ 0 −3 −1      2      3¯

Разлагая этот определитель по третьему столбцу, получим
                                        ¯                ¯
                                        ¯−2   5 −1      3¯
                                        ¯                ¯
                                        ¯ 1 −9 13       7¯
                       ∆ = (−1)3+5 (−1) ¯                  .
                                        ¯ 3 −1     5 −5 ¯¯
                                        ¯ 2 18 −7 −10¯

Преобразуем теперь определитель так, чтобы все элементы первого столбца, кроме вто-
рого, были нулями. С этой целью умножим вторую строку на два и прибавим к первой,
затем умножим вторую строку на три и вычтем из третьей и, наконец, умножим вторую
строку на два и вычтем из последней, получим:
                                  ¯                  ¯
                                  ¯0 −13     25    17¯
                                  ¯                  ¯
                                  ¯1 − 9     13     7¯
                            ∆ = −¯                     .
                                  ¯0    26 −34 −26¯¯
                                  ¯0    36 −33 −24   ¯

Разлагая этот определитель по первому столбцу, будем иметь
                              ¯               ¯ ¯             ¯
                              ¯−13   25    17 ¯ ¯−13    25 17 ¯
                              ¯
                          2+1 ¯
                                              ¯ ¯             ¯
                                              ¯  ¯            ¯
                ∆ = −(−1)     ¯ 26 −34 −26¯ = ¯ 26 −34 −26¯ .
                              ¯ 36 −33 −24¯ ¯ 36 −33 −24¯