Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Определители 65
§ 2. Определители
1. Квадратной матрицей порядка n называется таблица, состо-
ящая из n строк и n столбцов
A =
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
. . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . a
nn
. (1.1)
Здесь a
i,j
— числа, вообще говоря, комплексные.
Определитель матрицы порядка n может быть введен по аналогии
с определителями второго и третьего порядка в ходе решения системы
линейных уравнений с n неизвестными. Однако, нам будет удобно
опираться непосредственно на обобщение формулы (3.3), с. 26. Связь
определителей с решением систем уравнений будет описана позже.
Определителем матрицы A назовем величину
|A| =
X
n
1
n
2
n
3
. . . n
n
(−1)
σ(n
1
,n
2
,n
3
, . . . ,n
n
)
a
1n
1
a
2n
2
···a
nn
n
. (1.2)
Будем использовать следующие обозначения:
∆ = |A| =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
. . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . a
nn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
. (1.3)
Поясним, что определителем матрицы порядка n является сум-
ма n! слагаемых, составленная следующим образом: слагаемыми слу-
жат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по
одному из каждой строки и из каждого столбца, причем слагаемое
берется со знаком плюс, если перестановка n
1
n
2
n
3
. . . n
n
четная, и со
знаком минус — в противоположном случае.
Вследствие теоремы 2.2 количество слагаемых в (1.2) со знаком
плюс равно количеству слагаемых со знаком минус.
Отметим также, что элементы матрицы, участвующие в сла-
гаемом определителя, соответствующем перестановке n
1
n
2
n
3
. . . n
n
,
изображаются точками графика этой перестановки (см. рис. 1).
Говорят, что элементы a
1n
1
, a
2n
2
, . . . , a
nn
n
составляют диагональ
матрицы. Диагональ называется четной, если перестановка n
1
n
2
. . . n
n
четная и — нечетной в противном случае.
§ 2. Определители                                                                65


                                   § 2. Определители

   1. Квадратной матрицей порядка n называется таблица, состо-
ящая из n строк и n столбцов
                                           
                          a11 a12 . . . a1n
                         a a . . . a2n 
                   A =  21 22                .          (1.1)
                          ................ 
                          an1 an2 . . . ann
Здесь ai,j — числа, вообще говоря, комплексные.
    Определитель матрицы порядка n может быть введен по аналогии
с определителями второго и третьего порядка в ходе решения системы
линейных уравнений с n неизвестными. Однако, нам будет удобно
опираться непосредственно на обобщение формулы (3.3), с. 26. Связь
определителей с решением систем уравнений будет описана позже.
    Определителем матрицы A назовем величину
                   X
           |A| =         (−1)σ(n1 ,n2 ,n3 , . . . ,nn ) a1n1 a2n2 · · · annn . (1.2)
                    n1 n2 n3 . . . n n

Будем использовать следующие обозначения:
                           ¯                                ¯
                           ¯ a11 a12 . . . a1n              ¯
                           ¯                                ¯
                           ¯ a a . . . a2n                  ¯
                 ∆ = |A| = ¯ 21 22                          ¯.                (1.3)
                           ¯ ................               ¯
                           ¯ a a ... a                      ¯
                                         n1   n2       nn

    Поясним, что определителем матрицы порядка n является сум-
ма n! слагаемых, составленная следующим образом: слагаемыми слу-
жат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по
одному из каждой строки и из каждого столбца, причем слагаемое
берется со знаком плюс, если перестановка n1 n2 n3 . . . nn четная, и со
знаком минус — в противоположном случае.
    Вследствие теоремы 2.2 количество слагаемых в (1.2) со знаком
плюс равно количеству слагаемых со знаком минус.
    Отметим также, что элементы матрицы, участвующие в сла-
гаемом определителя, соответствующем перестановке n1 n2 n3 . . . nn ,
изображаются точками графика этой перестановки (см. рис. 1).
    Говорят, что элементы a1n1 , a2n2 , . . . , annn составляют диагональ
матрицы. Диагональ называется четной, если перестановка n1 n2 . . . nn
четная и — нечетной в противном случае.

Страницы