Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 65 стр.

64            Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители


   2.1. Теорема. Всякая транспозиция меняет четность пере-
становки.
    Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда выпол-
няется транспозиция соседних элементов перестановки. Обозначим
их ni и ni+1 . Очевидно, что пары, содержащие один из элементов ni
или ni+1 , в совокупности не приобретут и не потеряют инверсии при
такой транспозиции (она сможет лишь перейти от одной пары тако-
го сорта к другой). Инверсия для пар, не содержащих ни ni ни ni+1 ,
измениться вообще не сможет. Пара ni , ni+1 обязательно либо при-
обретет, либо потеряет инверсию. Это означает что сигнатура пере-
становки при транспозиции соседних элементов изменится ровно на
единицу.
    Пусть теперь выполняется транспозиция двух произвольных эле-
ментов. Для простоты записей можно считать, что меняются местами
элементы n1 и nk , k > 2. Эту транспозицию можно, очевидно, реа-
лизовать путем последовательных транспозиций соседних элементов.
Сначала переместим первый элемент на k + 1 место, меняя его ме-
стами последовательно со вторым, с третьим и т. д. элементами. Это
можно сделать за k − 1 шагов. Затем переместим k-й элемент на пер-
вое место, переставляя его с k − 1, k − 2 и т. д., со вторым элементом.
Это потребует k − 2 шагов. Итак, выполнив 2k − 3 = 2(k − 1) − 1
(нечетное количество) транспозиций соседних элементов мы поменя-
ем местами элементы n1 и nk .
    Таким образом, сигнатура перестановки при любой транспози-
ции (i, k) увеличивается (или уменьшается) на нечетное число и по-
тому четность перестановки меняется. ¤
   2.2. Теорема. При любом n количества четных и нечетных
перестановок совпадают.
   Доказательство. Из предыдущей теоремы вытекает, что вся-
кую четную перестановку можно превратить в нечетную, поменяв
местами каких-либо два ее элемента. Справедливо и обратное. Это
означает, что между множеством всех четных перестановок и мно-
жеством всех нечетных перестановок (множества Mn ) можно устано-
вить взаимнооднозначное соответствие. Эти два множества конечны,
поэтому имеют равные количества элементов. ¤