Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 63 стр.

                             Глава 3
            Системы линейных уравнений,
               матрицы, определители


                       § 1. Перестановки

   1. Рассмотрим множество Mn = {1, 2, 3, . . . , n}, состоящее из
первых n целых чисел. Эти числа можно располагать в различном
порядке. Каждое такое расположение называют перестановкой. На-
пример, возможны перестановки:
                          1, 2, 3, . . . , n,                (1.1)
                          2, 1, 3, . . . , n.                (1.2)
Вообще, перестановку будем записывать в виде
                          n1 , n 2 , . . . , n n             (1.3)
Каждая перестановка определяет взваимнооднозначное отображение
множества Mn на себя. При этом отображении числу 1 соответствует
число n1 , числу 2 соотвествует n2 и т. д.
    Можно построить график такого отображения. Он будет пред-
ставлять собой n точек, расположенных в узлах целочисленной ре-
шетки. Причем на каждой вертикальной линии этой решетки лежит
ровно одна точка графика, и на каждой горизонтальной линии этой
решетки лежит ровно одна точка графика (см. рис. 1, a). Понятно,
что перестановка однозначно определяется ее графиком и наоборот
задание графика однозначно определяет перестановку (запишите пе-
рестановку, изображенную на рис. 1, a).
    Количество всех перестановок множества Mn принято обозначать
символом Pn . Покажем, что
                          Pn = 123 · · · n.                  (1.4)
Здесь записано произведение всех первых n членов натурального ря-
да. Принято обозначение 123 · · · n = n! (читается n-факториал).
    Для n = 1 и n = 2 формула (1.4), очевидно, справедлива. Вос-
пользуемся методом математической индукции. Предположим, что
равенство Pn−1 = (n − 1)! верно. Возьмем теперь некоторую пере-
становку множества Mn−1 и добавим к ней элемент n. Его можно