Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

60 Глава 2. Введение в аналитическую геометрию
Рис. 25. К компланарности прямых l
1
и l
2
(a). К построению уравнения прямой, по
которой пересекаются две плоскости (b).
6. Написать уравнение прямой l, являющейся пересечением двух
различных и не параллельных плоскостей π
1
, π
2
, задаваемых уравне-
ниями
a
1
x
1
+ b
1
x
2
+ c
1
x
3
+ d
1
= 0, a
2
x
1
+ b
2
x
2
+ c
2
x
3
+ d
2
= 0. (6.1)
Решение. Найдем сначала какую-либо точку, принадлежащую
обеим плоскостям (см. рис. 25, b). Иными словами, надо найти какое-
то решение x
1
, x
2
, x
3
системы уравнений (6.1). По условию плоскости
не параллельны, следовательно, векторы
a
1
= (a
1
, b
1
, c
1
) и a
2
= (a
2
, b
2
, c
2
),
нормальные к ним, не коллинеарны. Значит не выполняется хотя бы
одно из равенств
a
1
a
2
=
b
1
b
2
=
c
1
c
2
.
Примем для определенности, что a
1
b
2
− a
2
b
1
6= 0. Положим x
3
= 0,
тогда из (6.1) получаем
½
a
1
x
1
+ b
1
x
2
= −d
1
,
a
2
x
1
+ b
2
x
2
= −d
2
.
Решая эту систему, приходим к выводу, что точка
x
0
=
µ
b
1
d
2
− b
2
d
1
a
1
b
2
− a
2
b
1
,
a
2
d
1
− a
1
d
2
a
1
b
2
− a
2
b
1
, 0
принадлежит прямой l, по которой пересекаются плоскости π
1
, π
2
.
60                                Глава 2. Введение в аналитическую геометрию




Рис. 25. К компланарности прямых l1 и l2 (a). К построению уравнения прямой, по
которой пересекаются две плоскости (b).


   6. Написать уравнение прямой l, являющейся пересечением двух
различных и не параллельных плоскостей π1 , π2 , задаваемых уравне-
ниями
     a1 x1 + b1 x2 + c1 x3 + d1 = 0,    a2 x1 + b2 x2 + c2 x3 + d2 = 0.   (6.1)

    Решение. Найдем сначала какую-либо точку, принадлежащую
обеим плоскостям (см. рис. 25, b). Иными словами, надо найти какое-
то решение x1 , x2 , x3 системы уравнений (6.1). По условию плоскости
не параллельны, следовательно, векторы
                    a1 = (a1 , b1 , c1 ) и a2 = (a2 , b2 , c2 ),
нормальные к ним, не коллинеарны. Значит не выполняется хотя бы
одно из равенств
                            a1    b1     c1
                                =     = .
                            a2    b2     c2
Примем для определенности, что a1 b2 − a2 b1 6= 0. Положим x3 = 0,
тогда из (6.1) получаем
                        ½
                          a1 x1 + b1 x2 = −d1 ,
                          a2 x1 + b2 x2 = −d2 .
Решая эту систему, приходим к выводу, что точка
                     µ                                        ¶
                0      b1 d 2 − b 2 d 1 a 2 d 1 − a 1 d 2
               x =                     ,                  , 0
                       a 1 b2 − a 2 b1 a 1 b2 − a 2 b1
принадлежит прямой l, по которой пересекаются плоскости π 1 , π2 .

Страницы