Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

58 Глава 2. Введение в аналитическую геометрию
Рис. 23. К вычислению расстояния от точки до прямой (a) и между прямыми (b).
2. Найти расстояние d между прямыми l
1
и l
2
, заданными урав-
нениями
x = x
1
+ θe
1
, −∞ < θ < ∞,
x = x
2
+ θe
2
, −∞ < θ < ∞.
Решение. Искомое расстояние, очевидно, есть длина отрезка
прямой. Этот отрезок ортогонален l
1
и l
2
, концы его лежат на l
1
и l
2
(см. рис. 23, b). Построим параллелепипед на векторах e
1
, e
2
и x
2
− x
1
. Понятно, что d — высота этого параллелепипеда и, сле-
довательно, d есть отношение его объема к площади основания. Та-
ким образом, d = |(e
1
, e
2
, x
2
− x
1
)|/|[e
1
, e
2
]|. Осталось выразить все
входящие в эту формулу величины через координаты точек x
1
, x
2
и
компоненты векторов e
1
, e
2
(см. (7.3), с. 44, и (8.1), с. 46).
3. Найти угол ϕ между прямой l, заданной уравнением (2.1),
c. 56, и плоскостью π, заданной нормальным уравнением (1.2), c. 53.
Решение. Угол ϕ является дополнительным к углу ψ между
направляющим вектором прямой e и нормальным вектором плоско-
сти p, следовательно,
sin ϕ = cos ψ = cos(e, p) =
(e, p)
|e||p|
=
e
1
p
1
+ e
2
p
2
+ e
3
p
3
p
e
2
1
+ e
2
2
+ e
2
3
p
p
2
1
+ p
2
2
+ p
2
3
.
4. Определить общие точки прямой l, заданной уравнением (2.1),
с. 56, и плоскости π, заданной уравнением (1.7), с. 54.
Решение. Подставим значения x
1
, x
2
, x
3
из (2.2)–(2.4), с. 57, в
уравнение (1.7), с. 54. После элементарных преобразований получим
ax
0
1
+ bx
0
2
+ cx
0
3
+ d + θ(ae
1
+ be
2
+ ce
3
) = 0. (4.1)
Возможны следующие случаи.
58                                  Глава 2. Введение в аналитическую геометрию




     Рис. 23. К вычислению расстояния от точки до прямой (a) и между прямыми (b).


   2. Найти расстояние d между прямыми l1 и l2 , заданными урав-
нениями
                 x = x1 + θe1 , −∞ < θ < ∞,
                         x = x2 + θe2 ,    −∞ < θ < ∞.
    Решение. Искомое расстояние, очевидно, есть длина отрезка
прямой. Этот отрезок ортогонален l1 и l2 , концы его лежат на l1
и l2 (см. рис. 23, b). Построим параллелепипед на векторах e1 , e2
и x2 − x1 . Понятно, что d — высота этого параллелепипеда и, сле-
довательно, d есть отношение его объема к площади основания. Та-
ким образом, d = |(e1 , e2 , x2 − x1 )|/|[e1 , e2 ]|. Осталось выразить все
входящие в эту формулу величины через координаты точек x1 , x2 и
компоненты векторов e1 , e2 (см. (7.3), с. 44, и (8.1), с. 46).
    3. Найти угол ϕ между прямой l, заданной уравнением (2.1),
c. 56, и плоскостью π, заданной нормальным уравнением (1.2), c. 53.
    Решение. Угол ϕ является дополнительным к углу ψ между
направляющим вектором прямой e и нормальным вектором плоско-
сти p, следовательно,
                                     (e, p)      e 1 p1 + e 2 p2 + e 3 p3
      sin ϕ = cos ψ = cos(e, p) =           =p 2             p               .
                                     |e||p|   e1 + e22 + e23 p21 + p22 + p23
    4. Определить общие точки прямой l, заданной уравнением (2.1),
с. 56, и плоскости π, заданной уравнением (1.7), с. 54.
   Решение. Подставим значения x1 , x2 , x3 из (2.2)–(2.4), с. 57, в
уравнение (1.7), с. 54. После элементарных преобразований получим
                 ax01 + bx02 + cx03 + d + θ(ae1 + be2 + ce3 ) = 0.            (4.1)
       Возможны следующие случаи.

Страницы