Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 5. Задачи на взаимное расположение точек прямых и плоскостей в пространстве 57
Рис. 22. Прямая в пространстве.
Запишем уравнение (2.1) в координатах
x
1
− x
0
1
= θe
1
, (2.2)
x
2
− x
0
2
= θe
2
, (2.3)
x
3
− x
0
3
= θe
3
. (2.4)
Исключая из этих уравнений параметр θ, получим
x
1
− x
0
1
e
1
=
x
2
− x
0
2
e
2
=
x
3
− x
0
3
e
3
. (2.5)
Множество всех точек x = (x
1
, x
2
, x
2
), координаты которых удовле-
творяют уравнениям (2.5), образуют прямую, проходящую через точ-
ку x
0
параллельно вектору e. Уравнения (2.5) называют канониче-
скими уравнениями прямой.
Упражнение. Интерпретируйте случай, когда какой-либо зна-
менатель в (2.5) обращается в нуль.
§ 5. Задачи на взаимное расположение точек прямых и
плоскостей в пространстве
1. Найти расстояние d от прямой l, заданной уравнением (2.1),
c. 56, до точки x
1
= (x
1
1
, x
1
2
, x
1
3
).
Решение. Искомым расстоянием является длина перпендику-
ляра, опущенного из точки x
1
на прямую l (см. рис. 23, a). Рас-
смотрим параллелограмм, построенный на векторах e и x
1
− x
0
.
Площадь этого параллелограмма равна |[e, x
1
− x
0
]|, следователь-
но, d = |[e, x
1
− x
0
]|/|e|. Для того, чтобы выразить входящие сю-
да величины через координаты точек x
0
, x
1
и компоненты вектора e,
нужно, в частности, воспользоваться формулой (7.3), с. 44, для ком-
понент векторного произведения.
§ 5. Задачи на взаимное расположение точек прямых и плоскостей в пространстве 57




                        Рис. 22. Прямая в пространстве.


    Запишем уравнение (2.1) в координатах
                               x1 − x01 = θe1 ,                         (2.2)
                               x2 − x02 = θe2 ,                         (2.3)
                               x3 − x03 = θe3 .                         (2.4)
Исключая из этих уравнений параметр θ, получим
                      x1 − x01   x2 − x02   x3 − x03
                               =          =          .                  (2.5)
                         e1         e2         e3
Множество всех точек x = (x1 , x2 , x2 ), координаты которых удовле-
творяют уравнениям (2.5), образуют прямую, проходящую через точ-
ку x0 параллельно вектору e. Уравнения (2.5) называют канониче-
скими уравнениями прямой.
   Упражнение. Интерпретируйте случай, когда какой-либо зна-
менатель в (2.5) обращается в нуль.

  § 5. Задачи на взаимное расположение точек прямых и
                  плоскостей в пространстве

    1. Найти расстояние d от прямой l, заданной уравнением (2.1),
c. 56, до точки x1 = (x11 , x12 , x13 ).
    Решение. Искомым расстоянием является длина перпендику-
ляра, опущенного из точки x1 на прямую l (см. рис. 23, a). Рас-
смотрим параллелограмм, построенный на векторах e и x1 − x0 .
Площадь этого параллелограмма равна |[e, x1 − x0 ]|, следователь-
но, d = |[e, x1 − x0 ]|/|e|. Для того, чтобы выразить входящие сю-
да величины через координаты точек x0 , x1 и компоненты вектора e,
нужно, в частности, воспользоваться формулой (7.3), с. 44, для ком-
понент векторного произведения.

Страницы