Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

56 Глава 2. Введение в аналитическую геометрию
Рис. 21. Плоскости π
1
, π
2
.
6x
1
+ 2x
2
− 3x
3
+ 8 = 0, (1.10)
и точка x
0
= (1, 1, 8). Определить величину того угла между плоскостями π
1
, π
2
, кото-
рому принадлежит точка x
0
.
Приведем уравнения (1.9), (1.10) к нормальному виду. Имеем
p
2
2
+ 1
2
+ 2
2
= 3,
p
6
2
+ 2
2
+ 3
2
= 7,
следовательно, нормальный вид уравнения (1.9) есть
(p
1
, x) − q
1
= 0, (1.11)
где p
1
=
1
3
(2, −1, 2), q
1
= 1, а для уравнения (1.10) получаем
(p
2
, x) − q
2
= 0, (1.12)
где p
2
=
1
7
(6, 2, −3), q
2
= −8/7. Заметим далее, что
(p
1
, x
0
) − q
1
=
1
3
(2 · 1 − 1 · 1 + 2 · 8 − 3) = 14/3 > 0,
(p
2
, x
0
) − q
2
=
1
7
(6 · 1 + 2 · 1 − 3 · 8 + 8) = −8/7 < 0.
Поэтому конец вектора p
1
и точка x
0
лежат по одну сторону от плоскости π
1
, а конец
вектора p
2
и точка x
0
лежат по разные стороны от плоскости π
2
и, следовательно,
точка принадлежит углу ϕ (см. рис. 21). Угол ϕ равен углу между векторами p
1
, p
2
.
Используя формулу (1.8), получим
cos ϕ =
2 · 6 − 1 · 2 − 2 · 3
3 · 7
=
4
21
, ϕ ≈ 0.44π.
2. Прямая в пространстве. Уравнение
x = x
0
+ θe, −∞ < θ < ∞, (2.1)
определяет прямую, проходящую через точку x
0
параллельно векто-
ру e = (e
1
, e
2
, e
3
) (см. рис. 22).
56                                    Глава 2. Введение в аналитическую геометрию




                               Рис. 21. Плоскости π1 , π2 .


                                 6x1 + 2x2 − 3x3 + 8 = 0,                        (1.10)
и точка x0 = (1, 1, 8). Определить величину того угла между плоскостями π1 , π2 , кото-
рому принадлежит точка x0 .
    Приведем уравнения (1.9), (1.10) к нормальному виду. Имеем
                         p                   p
                           22 + 12 + 22 = 3,   62 + 22 + 32 = 7,

следовательно, нормальный вид уравнения (1.9) есть

                                     (p1 , x) − q1 = 0,                          (1.11)
        1
где p1 = (2, −1, 2), q1 = 1, а для уравнения (1.10) получаем
        3
                                     (p2 , x) − q2 = 0,                          (1.12)
        1
где p2 = (6, 2, −3), q2 = −8/7. Заметим далее, что
        7
                                   1
                  (p1 , x0 ) − q1 = (2 · 1 − 1 · 1 + 2 · 8 − 3) = 14/3 > 0,
                                   3
                                  1
                 (p2 , x0 ) − q2 = (6 · 1 + 2 · 1 − 3 · 8 + 8) = −8/7 < 0.
                                  7
Поэтому конец вектора p и точка x0 лежат по одну сторону от плоскости π1 , а конец
                           1

вектора p2 и точка x0 лежат по разные стороны от плоскости π2 и, следовательно,
точка принадлежит углу ϕ (см. рис. 21). Угол ϕ равен углу между векторами p 1 , p2 .
Используя формулу (1.8), получим
                               2·6−1·2−2·3   4
                     cos ϕ =               = ,             ϕ ≈ 0.44π.
                                   3·7      21



     2. Прямая в пространстве. Уравнение
                          x = x0 + θe,        −∞ < θ < ∞,                        (2.1)
определяет прямую, проходящую через точку x0 параллельно векто-
ру e = (e1 , e2 , e3 ) (см. рис. 22).

Страницы