Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

54 Глава 2. Введение в аналитическую геометрию
Рис. 19. К уравнению плоскости, проходящей через точку x
0
, натянутой на векторы e
1
и e
2
; а также к нормальному уравнению плоскости (x, p) − q = 0.
x
2
− x
0
2
= α
1
e
1
2
+ α
2
e
2
2
, (1.4)
x
3
− x
0
3
= α
1
e
1
3
+ α
2
e
2
3
. (1.5)
Полагая, что x 6= x
0
, рассмотрим определитель
∆(x) =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
x
1
− x
0
1
e
1
1
e
2
1
x
2
− x
0
2
e
1
2
e
2
2
x
3
− x
0
3
e
1
3
e
2
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Равенства (1.3)–(1.5) означают, что если точка x принадлежит
плоскости π, то столбцы этого определителя линейно зависимы, сле-
довательно, он равен нулю. Наоборот, равенство нулю этого опреде-
лителя означает, что его столбцы линейно зависимы и, поскольку век-
торы e
1
, e
2
линейно независимы, то выполнены равенства (1.3)–(1.5).
Таким образом, уравнение
¯
¯
¯
¯
¯
¯
x
1
− x
0
1
e
1
1
e
2
1
x
2
− x
0
2
e
1
2
e
2
2
x
3
− x
0
3
e
1
3
e
2
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 0 (1.6)
есть уравнение плоскости (в координатной форме), проходящей че-
рез точку x
0
и натянутой на векторы e
1
, e
2
. Раскрывая определи-
тель ∆(x) (например, по первому столбцу), запишем уравнение плос-
кости π в виде
ax
1
+ bx
2
+ cx
3
+ d = 0. (1.7)
Здесь числа a, b, c, d очевидным образом выражаются через коорди-
наты векторов e
1
, e
2
, x
0
. Уравнение вида (1.7) называют общим урав-
нение плоскости.
Аналогично уравнению прямой уравнения (1.1), (1.2), (1.7) можно
эквивалентно преобразовывать из одной формы в другую.
54                                Глава 2. Введение в аналитическую геометрию




Рис. 19. К уравнению плоскости, проходящей через точку x0 , натянутой на векторы e1
и e2 ; а также к нормальному уравнению плоскости (x, p) − q = 0.


                            x2 − x02 = α1 e12 + α2 e22 ,                     (1.4)
                            x3 − x03 = α1 e13 + α2 e23 .                     (1.5)
     Полагая, что x 6= x0 , рассмотрим определитель
                                 ¯                  ¯
                                 ¯x 1 − x 0 e 1 e 2 ¯
                                 ¯        1   1   1¯
                       ∆(x) = ¯¯x2 − x02 e12 e22 ¯¯ .
                                 ¯x3 − x03 e13 e23 ¯

   Равенства (1.3)–(1.5) означают, что если точка x принадлежит
плоскости π, то столбцы этого определителя линейно зависимы, сле-
довательно, он равен нулю. Наоборот, равенство нулю этого опреде-
лителя означает, что его столбцы линейно зависимы и, поскольку век-
торы e1 , e2 линейно независимы, то выполнены равенства (1.3)–(1.5).
   Таким образом, уравнение
                         ¯                 ¯
                         ¯ x1 − x 0 e1 e2 ¯
                         ¯        1  1   1¯
                         ¯x2 − x02 e12 e22 ¯ = 0               (1.6)
                         ¯                 ¯
                         ¯x3 − x03 e13 e23 ¯

есть уравнение плоскости (в координатной форме), проходящей че-
рез точку x0 и натянутой на векторы e1 , e2 . Раскрывая определи-
тель ∆(x) (например, по первому столбцу), запишем уравнение плос-
кости π в виде
                     ax1 + bx2 + cx3 + d = 0.                (1.7)
Здесь числа a, b, c, d очевидным образом выражаются через коорди-
наты векторов e1 , e2 , x0 . Уравнение вида (1.7) называют общим урав-
нение плоскости.
   Аналогично уравнению прямой уравнения (1.1), (1.2), (1.7) можно
эквивалентно преобразовывать из одной формы в другую.

Страницы