Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 4. Плоскости и прямые в пространстве 53
Рис. 18. Угол между прямыми.
Упражнения
1) Найдите косинус угла между двумя прямыми, заданными урав-
нениями вида (1.1).
2) Найдите косинус угла между двумя прямыми, заданными урав-
нениями вида (1.2).
3) Используя выражение для тангенса угла между прямыми, по-
кажите, что при k
1
= k
2
прямые параллельны, при k
1
k
2
= −1 орто-
гональны.
§ 4. Плоскости и прямые в пространстве
1. Уравнение плоскости. Рассматривается трехмерное евклидово
пространство. Пусть e
1
и e
2
— неколлинеарные векторы в трехмерном
пространстве, а x
0
— произвольный вектор. Уравнение
x = x
0
+ α
1
e
1
+ α
2
e
2
, −∞ < α
1
, α
2
< ∞, (1.1)
определяет плоскость π, проходящую через точку x
0
. Говорят, что
эта плоскость натянута на векторы e
1
, e
2
(см. рис. 19).
Пусть p — единичный вектор. Уравнение
(x, p) − q = 0 (1.2)
определяет множество векторов, концы которых, принадлежат плос-
кости, ортогональной вектору p и отстоящей от начала координат
на расстояние q (см. рис. 19). Знак q определяет направление сдвига
плоскости (по отношению к направлению вектора p). Уравнение (1.2)
называют нормальным уравнением плоскости. Напомним, что нор-
мальное уравнение прямой (1.2), с. 50, имеет аналогичный вид.
Запишем уравнение (1.1) в координатной форме (здесь и далее до
конца главы используются только декартовы координаты)
x
1
− x
0
1
= α
1
e
1
1
+ α
2
e
2
1
, (1.3)
§ 4. Плоскости и прямые в пространстве                            53




                         Рис. 18. Угол между прямыми.


   Упражнения
   1) Найдите косинус угла между двумя прямыми, заданными урав-
нениями вида (1.1).
   2) Найдите косинус угла между двумя прямыми, заданными урав-
нениями вида (1.2).
   3) Используя выражение для тангенса угла между прямыми, по-
кажите, что при k1 = k2 прямые параллельны, при k1 k2 = −1 орто-
гональны.

            § 4. Плоскости и прямые в пространстве

   1. Уравнение плоскости. Рассматривается трехмерное евклидово
пространство. Пусть e1 и e2 — неколлинеарные векторы в трехмерном
пространстве, а x0 — произвольный вектор. Уравнение
              x = x 0 + α 1 e1 + α 2 e2 ,   −∞ < α1 , α2 < ∞,   (1.1)
определяет плоскость π, проходящую через точку x0 . Говорят, что
эта плоскость натянута на векторы e1 , e2 (см. рис. 19).
    Пусть p — единичный вектор. Уравнение
                                (x, p) − q = 0                  (1.2)
определяет множество векторов, концы которых, принадлежат плос-
кости, ортогональной вектору p и отстоящей от начала координат
на расстояние q (см. рис. 19). Знак q определяет направление сдвига
плоскости (по отношению к направлению вектора p). Уравнение (1.2)
называют нормальным уравнением плоскости. Напомним, что нор-
мальное уравнение прямой (1.2), с. 50, имеет аналогичный вид.
    Запишем уравнение (1.1) в координатной форме (здесь и далее до
конца главы используются только декартовы координаты)
                           x1 − x01 = α1 e11 + α2 e21 ,         (1.3)

Страницы