Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Прямые на плоскости 51
Рис. 17. К вычислению расстояния от точки до прямой: d > 0 (a), d < 0 (b).
Геометрический смысл участвующих в (1.3)–(1.5) коэффициентов
также хорошо знаком читателю. Поясним только, что k — тангенс
угла наклона прямой к оси x
1
.
Из уравнения прямой, записанного в формах (1.3)–(1.5), эле-
ментарными эквивалентными преобразованиями нетрудно получить
уравнение в форме (1.1) или (1.2). Получим, например, нормальное
уравнение прямой из уравнения в так называемой общей форме (1.4).
Для этого поделим обе части уравнения (1.4) на
√
a
2
+ b
2
и положим
p
1
= a/
p
a
2
+ b
2
, p
2
= b/
p
a
2
+ b
2
, d = −c/
p
a
2
+ b
2
.
Поскольку p
2
1
+ p
2
2
= 1, то эта форма записи уравнения прямой будет
нормальной.
2. Решим некоторые задачи, связанные с исследованием взаим-
ного расположением прямых и точек на плоскости.
1) Определить расстояние от точки x
0
= (x
0
1
, x
0
2
) до прямой.
Проще всего эта задача решается, когда прямая l задана нормаль-
ным уравнением. Действительно, поскольку |p| = 1, то (x
0
, p) — ве-
личина проекции вектора x
0
на прямую, параллельную p, следова-
тельно, величина δ = (x
0
, p) − d — отклонение точки x
0
от прямой l
(см. рис. 17). Причем знак δ показывает по какую сторону от пря-
мой l расположена точка x
0
. Расстояние от точки x
0
до прямой l
равно |(x
0
, p) − d|.
Пример. Найти расстояние от точки x
0
= (1, −2) до прямой 3x
1
− 4x
2
− 26 = 0
(сделайте рисунок). Сначала приведем прямую к нормальному виду:
3
5
x
1
−
4
5
x
2
−
26
5
= 0,
§ 3. Прямые на плоскости                                                          51




     Рис. 17. К вычислению расстояния от точки до прямой: d > 0 (a), d < 0 (b).


Геометрический смысл участвующих в (1.3)–(1.5) коэффициентов
также хорошо знаком читателю. Поясним только, что k — тангенс
угла наклона прямой к оси x1 .
   Из уравнения прямой, записанного в формах (1.3)–(1.5), эле-
ментарными эквивалентными преобразованиями нетрудно получить
уравнение в форме (1.1) или (1.2). Получим, например, нормальное
уравнение прямой из уравнения в так называемой√общей форме (1.4).
Для этого поделим обе части уравнения (1.4) на a2 + b2 и положим
             p                 p                  p
      p1 = a/ a2 + b2 , p2 = b/ a2 + b2 , d = −c/ a2 + b2 .
Поскольку p21 + p22 = 1, то эта форма записи уравнения прямой будет
нормальной.
    2. Решим некоторые задачи, связанные с исследованием взаим-
ного расположением прямых и точек на плоскости.
    1) Определить расстояние от точки x0 = (x01 , x02 ) до прямой.
    Проще всего эта задача решается, когда прямая l задана нормаль-
ным уравнением. Действительно, поскольку |p| = 1, то (x0 , p) — ве-
личина проекции вектора x0 на прямую, параллельную p, следова-
тельно, величина δ = (x0 , p) − d — отклонение точки x0 от прямой l
(см. рис. 17). Причем знак δ показывает по какую сторону от пря-
мой l расположена точка x0 . Расстояние от точки x0 до прямой l
равно |(x0 , p) − d|.
     Пример. Найти расстояние от точки x0 = (1, −2) до прямой 3x1 − 4x2 − 26 = 0
                                                               3    4     26
(сделайте рисунок). Сначала приведем прямую к нормальному виду: x1 − x2 −    = 0,
                                                               5    5      5

Страницы