Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 3. Прямые на плоскости 49
Координаты вектора [x −z, y −z] определим по формуле (7.3), с. 44.
Понятно, что среди них только одна, третья, будет отлична от нуля.
Она, очевидно, будет равна
¯
¯
¯
¯
x
1
− z
1
x
2
− z
2
y
1
− z
1
y
2
− z
2
¯
¯
¯
¯
.
Следовательно, с точностью до знака |[x − z, y − z]| совпадет с ве-
личиной этого определителя. Отсюда вытекает, что с точностью до
знака площадь треугольника равна
S =
1
2
¯
¯
¯
¯
x
1
− z
1
x
2
− z
2
y
1
− z
1
y
2
− z
2
¯
¯
¯
¯
. (9.3)
Часто используют и такую форму записи:
S =
1
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
x
1
x
2
1
y
1
y
2
1
z
1
z
2
1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
. (9.4)
Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках x = (1, 1),
y = (2, 2), z = (−1, 3). Используем формулу (9.4), а затем выполним очевидные эле-
ментарные преобразования определителя:
S =
1
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 1
2 2 1
−1 3 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
1
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 1 1
0 0 −1
0 4 2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 4/2 = 2.
Упражнение. Покажите, что определители (9.3), (9.4) совпада-
ют.
§ 3. Прямые на плоскости
1. Приведем сначала различные формы уравнения прямой на
плоскости. Плоскость отнесем к декартовой системе координат x
1
, x
2
.
Как и ранее, точки x = (x
1
, x
2
) будут отождествляться с векторами
(см. рис. 15, a).
1) Прямую l, проходящую через точку x
0
= (x
0
1
, x
0
2
) параллельно
вектору e = (e
1
, e
2
) зададим уравнением (см. рис. 15, b)
x = x
0
+ θe, −∞ < θ < ∞. (1.1)
2) В каком то смысле альтернативный способ описания: прямая —
это множество всех векторов, ортогональных данному вектору p (пря-
мая, проходящая через начало координат), сдвинутое параллельно p
§ 3. Прямые на плоскости                                                       49


Координаты вектора [x − z, y − z] определим по формуле (7.3), с. 44.
Понятно, что среди них только одна, третья, будет отлична от нуля.
Она, очевидно, будет равна
                        ¯                   ¯
                        ¯ x1 − z 1 x2 − z 2 ¯
                        ¯                   ¯
                        ¯ y1 − z 1 y2 − z 2 ¯ .

Следовательно, с точностью до знака |[x − z, y − z]| совпадет с ве-
личиной этого определителя. Отсюда вытекает, что с точностью до
знака площадь треугольника равна
                           ¯                  ¯
                        1 ¯¯ x1 − z1 x2 − z2 ¯¯
                    S= ¯                        .             (9.3)
                        2 y1 − z 1 y2 − z 2 ¯
Часто используют и такую форму записи:
                            ¯          ¯
                            ¯ x1 x2 1 ¯
                          1¯           ¯
                       S = ¯¯ y1 y2 1 ¯¯ .                                  (9.4)
                          2¯ z z 1 ¯
                                        1   2

    Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках x = (1, 1),
y = (2, 2), z = (−1, 3). Используем формулу (9.4), а затем выполним очевидные эле-
ментарные преобразования определителя:
                              ¯      ¯    ¯          ¯
                              ¯ 1 1 1¯    ¯1 1     1 ¯
                           1 ¯¯      ¯ 1¯            ¯
                       S = ¯ 2 2 1¯ = ¯0 0 −1¯¯ = 4/2 = 2.
                                     ¯    ¯
                           2 ¯−1 3 1¯ 2 ¯0 4       2¯


      Упражнение. Покажите, что определители (9.3), (9.4) совпада-
ют.

                       § 3. Прямые на плоскости

    1. Приведем сначала различные формы уравнения прямой на
плоскости. Плоскость отнесем к декартовой системе координат x 1 , x2 .
Как и ранее, точки x = (x1 , x2 ) будут отождествляться с векторами
(см. рис. 15, a).
    1) Прямую l, проходящую через точку x0 = (x01 , x02 ) параллельно
вектору e = (e1 , e2 ) зададим уравнением (см. рис. 15, b)
                        x = x0 + θe,     −∞ < θ < ∞.                        (1.1)
    2) В каком то смысле альтернативный способ описания: прямая —
это множество всех векторов, ортогональных данному вектору p (пря-
мая, проходящая через начало координат), сдвинутое параллельно p

Страницы