Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 49 стр.

48                               Глава 2. Введение в аналитическую геометрию




Рис. 14. К уравнению отрезка прямой, z = x + θ(y − x) (a). К вычислению площади
треугольника xyz (b).


   3) Уравнение отрезка прямой. Деление отрезка в данном отно-
шении. Рассмотрим две точки x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ). Поло-
жим
                  z = x + θ(y − x), 0 6 θ 6 1.                         (9.2)
Нетрудно видеть, что при изменении θ от нуля до единицы, точка z
пробегает отрезок прямой, соединяющий точки x и y (см. рис. 14, a).
Говорят, что (9.2) — уравнение отрезка прямой (в пространстве).
   Ясно, что |z − x| = θ|y − x|, т. е. точка z (при данном θ) делит
отрезок в отношении θ : (1 − θ). В частности, при θ = 1/2 отрезок
делится пополам. Запишем, наконец, уравнение (9.2) в координатной
форме
            zi = xi + θ(yi − xi ), i = 1, 2, 3, 0 6 θ 6 1.
При θ = 1/2 получаем координаты середины отрезка
                       zi = (xi + yi )/2,   i = 1, 2, 3.
    4) Площадь треугольника. Рассмотрим плоскость, отнесенную к
декартовой системе координат x1 , x2 , и на этой плоскости треуголь-
ник с вершинами x = (x1 , x1 ), y = (y1 , y2 ), z = (z1 , z2 ) (см. рис. 14, b).
    Поставим задачу, выразить площадь треугольника через коорди-
наты его вершин. Нам будет удобно трактовать плоскость x1 , x2 как
координатную плоскость x3 = 0 трехмерной декартовой системы ко-
ординат x1 , x2 , x3 .
    Построим векторы x−z, y−z (см. рис. 14, b) и составим их вектор-
ное произведение. Получим вектор, направленный вдоль оси x 3 . Дли-
на этого вектора будет равна удвоенной площади треугольника xyz.