Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

46 Глава 2. Введение в аналитическую геометрию
+ (x
2
y
3
− x
3
y
2
)[e
2
, e
3
], z
1
e
1
+ z
2
e
2
+ z
3
e
3
).
Раскроем здесь скобки, используя линейность и симметрию скалярно-
го произведения, описанное выше правило изменения знака смешан-
ного произведения, а также тот очевидный факт, что если два сомно-
жителя в смешанном произведении совпадают, то оно равно нулю.
Получим
(x, y, z) = {(x
1
y
2
− x
2
y
1
)z
3
− (x
1
y
3
− x
3
y
1
)z
2
+
+ (x
2
y
3
− x
3
y
2
)z
1
)}(e
1
, e
2
, e
3
).
Выражение в фигурных скобках — разложение определителя третье-
го порядка по последней строке. Поэтому
(x, y, z) =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
x
1
x
2
x
3
y
1
y
2
y
3
z
1
z
2
z
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
(e
1
, e
2
, e
3
).
Поскольку (e
1
, e
2
, e
3
) 6= 0 (векторы базиса некомпланарны), то
отсюда сразу вытекает, что необходимое и достаточное условие ком-
планарности векторов — равенство нулю определителя
¯
¯
¯
¯
¯
¯
x
1
x
2
x
3
y
1
y
2
y
3
z
1
z
2
z
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
,
составленного из компонент векторов относительно любого базиса.
Если базис декартов, то, очевидно, (e
1
, e
2
, e
3
) = 1, т. е. в декарто-
вых координатах
(x, y, z) =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
x
1
x
2
x
3
y
1
y
2
y
3
z
1
z
2
z
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
. (8.1)
Вычислим, например, смешанное произведение векторов x, y, z, декартовы кооор-
динаты которых заданы равенствами (6.2). Имеем (сделайте рисунок)
(x, y, z) =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2 1 −1
3 2 −1
3 1 0
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2 1 −1
1 1 0
3 1 0
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2 1 −1
1 1 0
2 0 0
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= 2.
Упражнение. Пусть векторы e
1
, e
2
, e
3
некомпланарны, Поло-
жим Q = (e
1
, e
2
, e
3
),
e
1
= Q
−1
[e
2
, e
3
], e
2
= −Q
−1
[e
1
, e
3
], e
3
= Q
−1
[e
1
, e
2
].
46                                 Глава 2. Введение в аналитическую геометрию


                                 + (x2 y3 − x3 y2 )[e2 , e3 ], z1 e1 + z2 e2 + z3 e3 ).
Раскроем здесь скобки, используя линейность и симметрию скалярно-
го произведения, описанное выше правило изменения знака смешан-
ного произведения, а также тот очевидный факт, что если два сомно-
жителя в смешанном произведении совпадают, то оно равно нулю.
Получим

 (x, y, z) = {(x1 y2 − x2 y1 )z3 − (x1 y3 − x3 y1 )z2 +
                                            + (x2 y3 − x3 y2 )z1 )}(e1 , e2 , e3 ).
Выражение в фигурных скобках — разложение определителя третье-
го порядка по последней строке. Поэтому
                              ¯           ¯
                              ¯ x1 x2 x3 ¯
                              ¯           ¯
                 (x, y, z) = ¯¯ y1 y2 y3 ¯¯ (e1 , e2 , e3 ).
                              ¯ z1 z2 z3 ¯

   Поскольку (e1 , e2 , e3 ) 6= 0 (векторы базиса некомпланарны), то
отсюда сразу вытекает, что необходимое и достаточное условие ком-
планарности векторов — равенство нулю определителя
                               ¯          ¯
                               ¯ x1 x2 x3 ¯
                               ¯          ¯
                               ¯ y1 y2 y3 ¯ ,
                               ¯          ¯
                               ¯ z1 z2 z3 ¯

составленного из компонент векторов относительно любого базиса.
    Если базис декартов, то, очевидно, (e1 , e2 , e3 ) = 1, т. е. в декарто-
вых координатах                   ¯            ¯
                                  ¯ x1 x2 x3 ¯
                                  ¯            ¯
                     (x, y, z) = ¯¯ y1 y2 y3 ¯¯ .                       (8.1)
                                  ¯ z1 z2 z3 ¯

    Вычислим, например, смешанное произведение векторов x, y, z, декартовы кооор-
динаты которых заданы равенствами (6.2). Имеем (сделайте рисунок)
                            ¯       ¯ ¯         ¯ ¯         ¯
                            ¯2 1 −1¯ ¯2 1 −1¯ ¯2 1 −1¯
                            ¯       ¯ ¯         ¯ ¯         ¯
               (x, y, z) = ¯¯3 2 −1¯¯ = ¯¯1 1 0¯¯ = ¯¯1 1 0¯¯ = 2.
                            ¯ 3 1 0 ¯ ¯3 1    0 ¯ ¯2 0    0¯


  Упражнение. Пусть векторы e1 , e2 , e3 некомпланарны, Поло-
жим Q = (e1 , e2 , e3 ),
         e1 = Q−1 [e2 , e3 ],   e2 = −Q−1 [e1 , e3 ],     e3 = Q−1 [e1 , e2 ].

Страницы