Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Векторная алгебра 45
Рис. 13. Смешанное произведение векторов (x, y, z). Угол α между векторами [x, y] и z
острый (a), тупой (b).
Пример. Декартовы координаты векторов x, y, z заданы равенствами (6.2). Най-
дем векторное произведение векторов y −x, z −x (сделайте рисунок). По формуле (7.4)
[y −x, z − x] =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
i
1
i
2
i
3
1 1 0
1 0 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= i
1
− i
2
− i
3
,
или [y − x, z −x] = (1, −1, −1).
8. Смешанным произведением векторов x, y, z называется чис-
ло (x, y, z) = ([x, y], z). Поясним, что сначала составляется век-
тор [x, y], затем этот вектор скалярно умножается на вектор z.
Смешанное произведение векторов имеет отчетливый геометри-
ческий смысл. Если векторы [x, y] и z образуют острый угол, это —
объем параллелепипеда, построенного на векторах x, y, z. В против-
ном случае — это объем параллелепипеда, построенного на векто-
рах x, y, z, взятый со знаком минус (см. рис. 13).
Отсюда сразу вытекает, что при перестановке любых двух сомно-
жителей в смешанном произведении абсолютная величина его не ме-
няется, а знак меняется на противоположный, например,
(x, y, z) = −(y, x, z), (x, y, z) = −(x, z, y).
Ясно, что необходимым и достаточным условием компланарности
трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.
Получим выражение для смешанного произведения векторов
x = x
1
e
1
+ x
2
e
2
+ x
3
e
3
, y = y
1
e
1
+ y
2
e
2
+ y
3
e
3
, z = z
1
e
1
+ z
2
e
2
+ z
3
e
3
через их координаты. Используя формулу (7.2), можем написать
(x, y, z) = ((x
1
y
2
− x
2
y
1
)[e
1
, e
2
] + (x
1
y
3
− x
3
y
1
)[e
1
, e
3
]+
§ 2. Векторная алгебра                                                                  45




Рис. 13. Смешанное произведение векторов (x, y, z). Угол α между векторами [x, y] и z
острый (a), тупой (b).


    Пример. Декартовы координаты векторов x, y, z заданы равенствами (6.2). Най-
дем векторное произведение векторов y − x, z − x (сделайте рисунок). По формуле (7.4)
                                       ¯          ¯
                                       ¯ i1 i2 i3 ¯
                                       ¯          ¯
                     [y − x, z − x] = ¯¯ 1 1 0 ¯¯ = i1 − i2 − i3 ,
                                       ¯ 1 0 1 ¯

или [y − x, z − x] = (1, −1, −1).

   8. Смешанным произведением векторов x, y, z называется чис-
ло (x, y, z) = ([x, y], z). Поясним, что сначала составляется век-
тор [x, y], затем этот вектор скалярно умножается на вектор z.
   Смешанное произведение векторов имеет отчетливый геометри-
ческий смысл. Если векторы [x, y] и z образуют острый угол, это —
объем параллелепипеда, построенного на векторах x, y, z. В против-
ном случае — это объем параллелепипеда, построенного на векто-
рах x, y, z, взятый со знаком минус (см. рис. 13).
   Отсюда сразу вытекает, что при перестановке любых двух сомно-
жителей в смешанном произведении абсолютная величина его не ме-
няется, а знак меняется на противоположный, например,
                 (x, y, z) = −(y, x, z),      (x, y, z) = −(x, z, y).
   Ясно, что необходимым и достаточным условием компланарности
трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.
   Получим выражение для смешанного произведения векторов
x = x 1 e1 + x 2 e2 + x 3 e3 , y = y 1 e1 + y 2 e2 + y 3 e3 , z = z 1 e1 + z 2 e2 + z 3 e3
через их координаты. Используя формулу (7.2), можем написать

  (x, y, z) = ((x1 y2 − x2 y1 )[e1 , e2 ] + (x1 y3 − x3 y1 )[e1 , e3 ]+

Страницы