Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

44 Глава 2. Введение в аналитическую геометрию
Рис. 12. К аддитивности векторного произведения. Произведение вектора x на век-
тор e единичной длины, z = [x, e], |z| = |x|sin α = |x|cos(π/2 − α) (a). К равен-
ству [x + y, e] = [x, e] + [y, e] (b).
для любого вектора z, можно написать
[x, y] = x
1
[e
1
, y
1
e
1
+ y
2
e
2
+ y
3
e
3
] + x
2
[e
2
, y
1
e
1
+ y
2
e
2
+ y
3
e
3
]+
+ x
3
[e
3
, y
1
e
1
+ y
2
e
2
+ y
3
e
3
] = −x
1
[y
1
e
1
+ y
2
e
2
+ y
3
e
3
, e
1
]−
− x
2
[y
1
e
1
+ y
2
e
2
+ y
3
e
3
, e
2
] − x
3
[y
1
e
1
+ y
2
e
2
+ y
3
e
3
, e
3
] =
= (x
1
y
2
− x
2
y
1
)[e
1
, e
2
] + (x
1
y
3
− x
3
y
1
)[e
1
, e
3
]+
+ (x
2
y
3
− x
3
y
2
)[e
2
, e
3
]. (7.2)
Таким образом, для того, чтобы вычислить векторное произведе-
ние произвольных векторов по их координатам, надо построить век-
торные произведения базисных векторов.
Проще всего вычисляются векторные произведения векторов
декартова базиса. Непосредственно из определения вытекает (см.
рис. 8, b), что
[i
1
, i
2
] = i
3
, [i
1
, i
3
] = −i
2
, [i
2
, i
3
] = i
1
,
следовательно, в декартовых координатах
[x, y] = (x
2
y
3
− x
3
y
2
)i
1
− (x
1
y
3
− x
3
y
1
)i
2
+ (x
1
y
2
− x
2
y
1
)i
3
. (7.3)
Для запоминания этого результата полезна следующая запись
[x, y] =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
i
1
i
2
i
3
x
1
x
2
x
3
y
1
y
2
y
3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
. (7.4)
Если (формально) разложить этот определитель по первой строке,
получим (7.3).
44                                    Глава 2. Введение в аналитическую геометрию




Рис. 12. К аддитивности векторного произведения. Произведение вектора x на век-
тор e единичной длины, z = [x, e], |z| = |x| sin α = |x| cos(π/2 − α) (a). К равен-
ству [x + y, e] = [x, e] + [y, e] (b).


для любого вектора z, можно написать

 [x, y] = x1 [e1 , y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 ] + x2 [e2 , y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 ]+
        + x3 [e3 , y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 ] = −x1 [y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 , e1 ]−
        − x2 [y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 , e2 ] − x3 [y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 , e3 ] =
               = (x1 y2 − x2 y1 )[e1 , e2 ] + (x1 y3 − x3 y1 )[e1 , e3 ]+
                                                      + (x2 y3 − x3 y2 )[e2 , e3 ]. (7.2)
    Таким образом, для того, чтобы вычислить векторное произведе-
ние произвольных векторов по их координатам, надо построить век-
торные произведения базисных векторов.
    Проще всего вычисляются векторные произведения векторов
декартова базиса. Непосредственно из определения вытекает (см.
рис. 8, b), что
                  [i1 , i2 ] = i3 ,   [i1 , i3 ] = −i2 ,   [i2 , i3 ] = i1 ,
следовательно, в декартовых координатах
     [x, y] = (x2 y3 − x3 y2 )i1 − (x1 y3 − x3 y1 )i2 + (x1 y2 − x2 y1 )i3 .       (7.3)
     Для запоминания этого результата полезна следующая запись
                                 ¯           ¯
                                 ¯ i1 i2 i3 ¯
                                 ¯           ¯
                       [x, y] = ¯¯ x1 x2 x3 ¯¯ .            (7.4)
                                 ¯ y1 y2 y3 ¯

Если (формально) разложить этот определитель по первой строке,
получим (7.3).

Страницы