Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

42 Глава 2. Введение в аналитическую геометрию
Рис. 11. К определению векторного произведения: левый базис (a), z = [x, y] (b).
Приведем в заключение очевидную, но полезную, формулу, вы-
ражающую косинус угла между векторами через их декартовы коор-
динаты:
cos(x, y) =
(x, y)
|x||y|
=
x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ x
3
y
3
p
x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
p
y
2
1
+ y
2
2
+ y
2
3
.
Пример. Треугольник xyz задан декартовыми координатами вершин (сделайте
рисунок):
x = (2, 1, −1), y = (3, 2, −1), z = (3, 1, 0). (6.2)
Требуется найти угол α при вершине x. Сначала находим векторы
y −x = (1, 1, 0) и z − x = (1, 0, 1).
Затем вычисляем их длины |y −x| =
√
1
2
+ 1
2
=
√
2, |z −x| =
√
1
2
+ 1
2
=
√
2, скалярное
произведение (y −x, z −x) = 1·1+1·0+0·1 = 1 и, наконец, косинус угла при вершине x:
cos α =
(y − x, z − x)
|y − x||z − x|
=
1
2
,
следовательно, α =
π
3
.
7. Векторное произведение векторов естественным образом воз-
никает в физике при введении понятия момента силы относительно
данной точки.
Пусть в пространстве фиксирована некоторая базисная система
векторов e
1
, e
2
, e
3
. Введем понятие ориентации базиса. Будем гово-
рить, что тройка базисных векторов e
1
, e
2
, e
3
имеет правую ориента-
цию, если с конца вектора e
3
кратчайший поворот от e
1
к e
2
совер-
шается против часовой стрелки. В противном случае тройка имеет
левую ориентацию (см. рис. 11, a).
Векторным произведением вектора x на вектор y называется век-
тор z, удовлетворяющий следующим трем условиям:
1) |z| = |x||y|sin(x, y),
2) вектор z ортогонален каждому из векторов x и y,
42                                   Глава 2. Введение в аналитическую геометрию




     Рис. 11. К определению векторного произведения: левый базис (a), z = [x, y] (b).


   Приведем в заключение очевидную, но полезную, формулу, вы-
ражающую косинус угла между векторами через их декартовы коор-
динаты:
                            (x, y)      x1 y1 + x 2 y2 + x 3 y3
              cos(x, y) =          =p 2             p             .
                            |x||y|   x1 + x2 + x3 y12 + y22 + y32
                                            2     2


    Пример. Треугольник xyz задан декартовыми координатами вершин (сделайте
рисунок):
                  x = (2, 1, −1), y = (3, 2, −1), z = (3, 1, 0).       (6.2)
Требуется найти угол α при вершине x. Сначала находим векторы

                         y − x = (1, 1, 0) и z − x = (1, 0, 1).
                                     √         √               √      √
Затем вычисляем их длины |y − x| = 12 + 12 = 2, |z − x| = 12 + 12 = 2, скалярное
произведение (y −x, z −x) = 1·1+1·0+0·1 = 1 и, наконец, косинус угла при вершине x:

                                          (y − x, z − x)  1
                                cos α =                  = ,
                                          |y − x||z − x|  2
                     π
следовательно, α =     .
                     3

   7. Векторное произведение векторов естественным образом воз-
никает в физике при введении понятия момента силы относительно
данной точки.
   Пусть в пространстве фиксирована некоторая базисная система
векторов e1 , e2 , e3 . Введем понятие ориентации базиса. Будем гово-
рить, что тройка базисных векторов e1 , e2 , e3 имеет правую ориента-
цию, если с конца вектора e3 кратчайший поворот от e1 к e2 совер-
шается против часовой стрелки. В противном случае тройка имеет
левую ориентацию (см. рис. 11, a).
   Векторным произведением вектора x на вектор y называется век-
тор z, удовлетворяющий следующим трем условиям:
   1) |z| = |x||y| sin(x, y),
   2) вектор z ортогонален каждому из векторов x и y,

Страницы