Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Векторная алгебра 41
Рис. 10. Прекция вектора (a). К аддитивности скалярного произведения (b).
Слева в этом равенстве — проекция вектора x + y на прямую, парал-
лельную вектору e, а справа — сумма проекций векторов x и y на эту
же прямую (см. рис. 10, b). Понятно, что эти величины совпадают.
Свойство 4) выполняется очевидным образом.
Отметим еще, что для любых x, y справедливо неравенство
|(x, y)| 6 |x||y|,
Это неравенство называют неравенством Коши. Очевидно также, что
для любых x, y справедливо неравенство
|x + y| 6 |x| + |y|,
называемое неравенством треугольника (см. рис. 4, b).
6. Укажем формулу вычисления скалярного произведения век-
торов x = (x
1
, x
2
, x
3
), y = (y
1
, y
2
, y
3
) через их координаты. Восполь-
зовавшись установленными только что свойствами скалярного про-
изведения, получим
(x, y) = (x
1
e
1
+ x
2
e
2
+ x
3
e
3
, y
1
e
1
+ y
2
e
2
+ y
3
e
3
) =
3
X
k,l=1
x
k
y
l
(e
k
, e
l
). (6.1)
Использованный здесь символ означает суммирование по всем значе-
ниям индексов k, l = 1, 2, 3 (всего — девять слагаемых).
Полученная формула показывает, что для вычисления скалярно-
го произведения двух любых векторов надо знать скалярные произ-
ведения для всех (шести) пар базисных векторов.
Проще всего вычисляется скалярное произведение векторов по их
декартовым координатам. Действительно, в этом случае (e
k
, e
l
) = δ
kl
,
следовательно,
(x, y) = x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ x
3
y
3
.
§ 2. Векторная алгебра                                                               41




    Рис. 10. Прекция вектора (a). К аддитивности скалярного произведения (b).


Слева в этом равенстве — проекция вектора x + y на прямую, парал-
лельную вектору e, а справа — сумма проекций векторов x и y на эту
же прямую (см. рис. 10, b). Понятно, что эти величины совпадают.
   Свойство 4) выполняется очевидным образом.
   Отметим еще, что для любых x, y справедливо неравенство
                               |(x, y)| 6 |x||y|,
Это неравенство называют неравенством Коши. Очевидно также, что
для любых x, y справедливо неравенство
                              |x + y| 6 |x| + |y|,
называемое неравенством треугольника (см. рис. 4, b).
    6. Укажем формулу вычисления скалярного произведения век-
торов x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ) через их координаты. Восполь-
зовавшись установленными только что свойствами скалярного про-
изведения, получим
                                                         3
                                                         X
               1         2    3     1       2        3
 (x, y) = (x1 e + x2 e + x3 e , y1 e + y2 e + y3 e ) =           xk yl (ek , el ). (6.1)
                                                         k,l=1

Использованный здесь символ означает суммирование по всем значе-
ниям индексов k, l = 1, 2, 3 (всего — девять слагаемых).
    Полученная формула показывает, что для вычисления скалярно-
го произведения двух любых векторов надо знать скалярные произ-
ведения для всех (шести) пар базисных векторов.
    Проще всего вычисляется скалярное произведение векторов по их
декартовым координатам. Действительно, в этом случае (ek , el ) = δkl ,
следовательно,
                     (x, y) = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 .

Страницы