Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Векторная алгебра 39
Рис. 8. К доказательству единственности разложения вектора по неортогональному
базису (a). Декартов базис (b).
Далее, пусть x = x
1
e
1
+ x
2
e
2
+ x
3
e
3
, y = y
1
e
1
+ y
2
e
2
+ y
3
e
3
. Тогда,
опираясь на свойства ассоциативности и дистрибутивности, получим
x + y = (x
1
+ y
1
)e
1
+ (x
2
+ y
2
)e
2
+ (x
3
+ y
3
)e
3
,
т. е. при сложении векторов их компоненты складываются.
Будем также писать
x + y = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, x
3
+ y
3
),
и, вообще,
αx + βy = (αx
1
+ βy
1
, αx
2
+ βy
2
, αx
3
+ βy
3
).
Например, даны векторы x = (1, 2, 4), y = (5, 6, 7). Вычислим координаты векто-
ра z = 2x −y. Ясно, что z = (2 −5, 4 − 6, 8 − 7) = (−3, −2, 1).
Рис. 9. Угол ϕ
1
между векторами x и y (a). Угол ψ = π−ϕ
1
между векторами x и −y (b).
5. Скалярным произведением векторов x и y называется чис-
ло (x, y), равное произведению длин этих векторов и косинуса угла
между ними:
(x, y) = |x||y|cos(x, y). (5.1)
§ 2. Векторная алгебра                                                           39




Рис. 8. К доказательству единственности разложения вектора по неортогональному
базису (a). Декартов базис (b).


Далее, пусть x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 , y = y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 . Тогда,
опираясь на свойства ассоциативности и дистрибутивности, получим
              x + y = (x1 + y1 )e1 + (x2 + y2 )e2 + (x3 + y3 )e3 ,
т. е. при сложении векторов их компоненты складываются.
     Будем также писать
                     x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ),
и, вообще,
              αx + βy = (αx1 + βy1 , αx2 + βy2 , αx3 + βy3 ).
     Например, даны векторы x = (1, 2, 4), y = (5, 6, 7). Вычислим координаты векто-
ра z = 2x − y. Ясно, что z = (2 − 5, 4 − 6, 8 − 7) = (−3, −2, 1).




Рис. 9. Угол ϕ1 между векторами x и y (a). Угол ψ = π−ϕ1 между векторами x и −y (b).


    5. Скалярным произведением векторов x и y называется чис-
ло (x, y), равное произведению длин этих векторов и косинуса угла
между ними:
                       (x, y) = |x||y| cos(x, y).            (5.1)

Страницы