Лекции по геометрии и алгебре. Карчевский Е.М - 41 стр.

40                            Глава 2. Введение в аналитическую геометрию


   Под углом между двумя векторами подразумевают тот угол, ко-
торый не превосходит π (см. рис. 9, a).
   Понятие скалярного произведения векторов возникает, например,
в физике при проектировании силы на заданное направление.
   Длина проекции (с учетом знака) вектора x на прямую, парал-
лельную вектору e единичной длинны, равна скалярному произведе-
нию (x, e) (см. рис. 10, a):
           (x, e) = |x||e| cos(x, e) = |x||e| cos α = |x| cos α.
    Очевидно, что для ортогональности двух ненулевых векторов
необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равня-
лось нулю.
    Если один из сомножителей — нуль, то и скалярное произведение
равно нулю.
    Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
    1) (x, y) = (y, x) для любых векторов x, y — симметрия;
    2) (αx, y) = α(x, y) для любых векторов x, y и для любого веще-
ственного числа α — однородность;
    3) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) для любых векторов x, y, z — адди-
тивность;
    4) (x, x) = |x|2 > 0 для любого вектора x, и если (x, x) = 0,
то x = 0 — положительная определенность.
    Заметим, что из свойств 2), 3) вытекает, что
                   (αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z)
для любых векторов x, y, z и для любых вещественных чисел α, β.
   Это свойство часто называют свойством линейности скалярного
произведения векторов по первому аргументу.
   Убедимся в справедливости свойств 1)–4).
   Свойство 1) — непосредственное следствие определения.
   Свойство 2) при α > 0 очевидно, а при α < 0 надо заметить, что
умножение одного вектора на отрицательное число превращает угол
между векторами в дополнительный до π и, стало быть, меняет знак
косинуса угла (см. рис. 9, b).
   Если z = 0, то свойство 3) очевидно, выполняется для любых x, y.
Если z 6= 0, то, используя свойство 2), получим
                       (x + y, z) = |z|(x + y, e),
где e = |z|−1 z, причем, очевидно, |e| = 1. Теперь достаточно доказать
равенство
                       (x + y, e) = (x, e) + (y, e).